echo $begrüßung;
Nun möchte ich parallel dazu, wenn ich das Formular über den Submit-Button abschicke, gleichzeitig einen weiteren Wert an eine dritte Seite senden.
Wenn es nicht unbedingt "parallel" sein muss, dann könntest du nachdem dein Script gearbeitet hat einen Location-Header mit angehängtem Querystring senden. Dann ruft der Browser dieses weitere Script auf.
echo "$verabschiedung $name";