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echo $begrüßung;
Ich hatte mal irgendwo gehoert, dass man mit PHP die formularelemente auslesen kann und diese dann direkt verwerten kann ohne ein form abzuschicken.
Nein, das geht nicht. PHP läuft auf dem Server, der erst nach dem Absenden eines Requests eines Clients tätig werden kann.
Schau dir mal das Prinzip des so genannten Affenformulars an. Dies etwas abgewandelt kann ich mir als Lösung deines Problems gut vorstellen.
echo "$verabschiedung $name";