echo $begrüßung;
[...] warum es [...] nicht funktioniert.
Der Fehler ist eine nicht beachtete Operatoren-Rangfolge in dieser Zeile:
while ($file = readdir($handle) !== false) {
Klammert man die Zuweisung, geht es.
while (($file = readdir($handle)) !== false) {
echo "$verabschiedung $name";