Wenn ich rechne...

[Der Martin]

Moin,

Ich versuche gerade heraus zu finden wie ich mittels der Erdanziehungskraft auf die "durchschnittliche" Fallgeschwindigkeit von 9,81 m/s komme!?

irgendwas hast du da wohl durcheinandergewürfelt. Eine durchschnittliche Fallgeschwindigkeit ist jedenfalls keine sinnvolle Angabe.
Was du meinst, ist wohl eher die Erd_beschleunigung_ von 9.81m/s², die sich aus der Gravitationskraft ergibt, die die Erde auf einen fallenden Körper ausübt. Das bedeutet, ein Körper wird im freien Fall in jeder Sekunde um 9.81m/s schneller.

Dabei spielt das Gewicht des fallenden Körpers ja nur bei der Beschleunigung eine Rolle.

Nein, das Gewicht (eigentlich: die Masse) des Körpers spielt dabei gar keine Rolle. Ein Goldbarren fällt genauso schnell wie ein Holzklotz gleicher Größe.

Wie ergibt sich also ca. 9,81 m/s

Ganz einfach: Das ist die Fallgeschwindigkeit, nachdem das fallende Objekt eine Sekunde unterwegs ist.

und spielt die Atmosphäre dabei eine Rolle?

Sie wird bei physikalischen Betrachtungen wie Übungs- und Prüfungsaufgaben in Schule und Uni meist vernachlässigt, weil der Einfluss bei "typischen" Fällen gering ist.
Aber ja, sie spielt insofern eine gewisse Rolle, dass der Luftwiderstand der Erdbeschleunigung entgegenwirkt. Der Effekt ist umso stärker, je schneller der Körper fällt (denn der Luftwiderstand steigt quadratisch mit der Geschwindigkeit) und je größer die Abmessungen des Körpers im Verhältnis zu seiner Masse sind: Ein Blatt Papier fällt zusammengeknüllt schneller als glatt ausgebreitet. Und bei sehr langen Fallvorgängen, z.B. der Freifall-Phase eines Fallschirmspringers, stellt sich irgendwann ein Gleichgewichtszustand ein, bei dem der Luftwiderstand so groß ist wie die Erdbeschleunigung und die Fallgeschwindigkeit deshalb nicht weiter zunimmt.

Oder nur die Masse des anziehenden Körpers?

Die Masse beider anziehender Körper, wenn man es genau nimmt - die der Erde und die des fallenden Körpers. Aber die Masse des fallenden Körpers ist im Verhältnis zur Erdmasse meist so klein, dass ganz vernachlässigt wird und nur die Erdmasse als Konstante in der Rechnung verbleibt.

Schönen Tag noch,
 Martin