Differenzfunktion

[Biesterfeld]

Hej,

Der Satz ist mir eigentlich klar bis auf den Schluss "...und subtrahiert die Differenzfunktion". Was heißt das???

Sicher dass da nicht steht "[...] und integriert die Differenzfunktion im Interval [a,b]" ?

Ganz allgemein gilt:

[latex]\lim_{\Delta x \to \infty}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{d f(x)}{d x}[/latex]

So, und nun beachte dass in aller Regel [latex]\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}[/latex] als Differenzfunktion und [latex]\frac{d f(x)}{d x}[/latex] als Differentialfunktion bezeichnet werden.

Was bringt das in unserem Beispiel?

Wenn du die Fläche die von zwei Kurven eingeschlossen ist bestimmen möchtest würdest du in aller Regel das Integral über der Differenz der Funktionen bilden, also:

[latex]\int^b_a f(x)-g(x) dx[/latex].

Das wiederum ist äquivalent zu

[latex]\lim_{\Delta x \to \infty}\sum_i (f(x_i)-g(x_i)) \Delta x_i[/latex]

Also lassen wir mal erstmal den Grenzübergang weg, dann beschreibt der Teil innerhalb der Summe Rechtecke mit einer Breite [latex]\Delta x[\latex] und einer Höhe [latex]f(x_i) - g(x_i)[\latex]. Also genau das Rechteck was du zwischen die beiden Kurven an der Stelle [latex]x_i[\latex] reinzeichnen könntest. Die Fl#cheninhalte der Rechtecke werden dann schlicht zwischen den gegebenen Grenzen aufsummiert.

Dieses Verfahren ist ziemlich ungenau. Weil wenn eine Kurve (oder Differenz zweier solcher) nicht gerade ein Strich in der Landschaft ist, werden die Rechtecke immer irgendwie an die Kurve stoßen und / oder diese schneiden. Jetzt stell dir vor, man würde einfach die Rechte schmaler machen. Dann hättest du zwar mehr von denen auf der gleichen Breite, aber sie würden sich immer genauer unter die Kurve anpassen. Daher kommt man letztendlich zu dem Zug, die Rechtecke unendlich klein werden zu lassen ([latex]\Delta x \t 0[\latex]). Dieser Grenzübergang beschreibt auch den Übergang von der Summenfunktion zum Integral.

Auf Feinheiten wollte ich jetzt nicht zu sehr eingehen, zumal dies an anderer Stelle auch etwas genauer beschrieben sein sollte, z.B. http://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html (insbesondere der Abschnitt "Das Integral als Grenzwert von Summen").

Wenn also in dem hier vorliegenden Fall von einer Differenzfunktion zur bestimmung der Fläche die Rede ist, ist nach meinem Verständnis der zweite (unexakte) Ansatz gemeint. Das hängt aber ganz besonders auch davon ab
Beste Grüße
Biesterfeld