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Differenzfunktion
Der Martin
Gunnar Bittersmann
sethHallo,
Ich weiß, dass das eigentlich nicht hierher gehört, aber hier erhält man am schnellsten Antwort auf seine Fragen und ich hab im Internet nichts passendes gefunden (und wir schreiben morgen Mathe-Klausur).
Meine Frage: Was ist der Unterschied zwischen einer Differenz- und einer Differenzialfunktion?
Vielen Dank im Vorraus
Euer Markus
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Hallo Markus,
bei einer Differenz(en)funktion ermittelst du den mittleren Anstieg in einem Intervall, und bei der Differenzialfunktion den Anstieg in einem Punkt, bzw. den Anstieg der Tangente auf diesen Punkt.
Beste Grüße
Richard-
Hallo Markus,
bei einer Differenz(en)funktion ermittelst du den mittleren Anstieg in einem Intervall, und bei der Differenzialfunktion den Anstieg in einem Punkt, bzw. den Anstieg der Tangente auf diesen Punkt.
D.h. Differenzialfunktion ist einfach die erste Ableitung in einem bestimmten Punkt, oder? Und was heißt das bei der Differenz(en)funktion?
Und kannst du mir vielleicht folgenden Satz unseres Mathelehrers erklären?: "Schließen die Graphen zweier Funktionen im Intervall [a;b] eine Fläche ein, so erhält man den Flächeninhalt mit Hilfe des bstimmten Integrals wie folgt: Man subtrahiert von der 'obenliegenden' Funktion die 'untenliegende' Funktion und subtrahiert die Differenzfunktion."
Der Satz ist mir eigentlich klar bis auf den Schluss "...und subtrahiert die Differenzfunktion". Was heißt das???Gruß
Markus-
Hallo Markus,
"Schließen die Graphen zweier Funktionen im Intervall [a;b] eine Fläche ein, so erhält man den Flächeninhalt mit Hilfe des bstimmten Integrals wie folgt: Man subtrahiert von der 'obenliegenden' Funktion die 'untenliegende' Funktion und subtrahiert die Differenzfunktion."
Der Satz ist mir eigentlich klar bis auf den Schluss "...und subtrahiert die Differenzfunktion". Was heißt das???ich denke, er hat sich vergaloppiert. Es hätte richtig heißen müssen: "... und integriert die Differenzfunktion".
In diesem Beispiel ist mit "Differenzfunktion" einfach nur die Funktion
f(x) = f1(x) - f2(x)
gemeint, also die Funktion, die die Differenz der beiden ursprünglichen Funktionen bildet.So long,
Martin--
Programmierer (m), seltener auch ~in (w):
Irdische, i.a. humanoide Lebensform, die in einem komplizierten biochemischen Prozess Kaffee, Cola und Pizza in maschinenlesbaren Programmcode umwandelt.
P~ bilden gelegentlich mit ihresgleichen kleine Gruppen, sogenannte Communities, sind aber ansonsten meist scheue Einzelgänger.
P~ sind vorwiegend nachtaktiv und ohne technische Hilfsmittel nur eingeschränkt lebensfähig. -
Hej,
Der Satz ist mir eigentlich klar bis auf den Schluss "...und subtrahiert die Differenzfunktion". Was heißt das???
Sicher dass da nicht steht "[...] und integriert die Differenzfunktion im Interval [a,b]" ?
Ganz allgemein gilt:
[latex]\lim_{\Delta x \to \infty}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{d f(x)}{d x}[/latex]
So, und nun beachte dass in aller Regel [latex]\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}[/latex] als Differenzfunktion und [latex]\frac{d f(x)}{d x}[/latex] als Differentialfunktion bezeichnet werden.
Was bringt das in unserem Beispiel?
Wenn du die Fläche die von zwei Kurven eingeschlossen ist bestimmen möchtest würdest du in aller Regel das Integral über der Differenz der Funktionen bilden, also:
[latex]\int^b_a f(x)-g(x) dx[/latex].
Das wiederum ist äquivalent zu
[latex]\lim_{\Delta x \to \infty}\sum_i (f(x_i)-g(x_i)) \Delta x_i[/latex]
Also lassen wir mal erstmal den Grenzübergang weg, dann beschreibt der Teil innerhalb der Summe Rechtecke mit einer Breite [latex]\Delta x[\latex] und einer Höhe [latex]f(x_i) - g(x_i)[\latex]. Also genau das Rechteck was du zwischen die beiden Kurven an der Stelle [latex]x_i[\latex] reinzeichnen könntest. Die Fl#cheninhalte der Rechtecke werden dann schlicht zwischen den gegebenen Grenzen aufsummiert.
Dieses Verfahren ist ziemlich ungenau. Weil wenn eine Kurve (oder Differenz zweier solcher) nicht gerade ein Strich in der Landschaft ist, werden die Rechtecke immer irgendwie an die Kurve stoßen und / oder diese schneiden. Jetzt stell dir vor, man würde einfach die Rechte schmaler machen. Dann hättest du zwar mehr von denen auf der gleichen Breite, aber sie würden sich immer genauer unter die Kurve anpassen. Daher kommt man letztendlich zu dem Zug, die Rechtecke unendlich klein werden zu lassen ([latex]\Delta x \t 0[\latex]). Dieser Grenzübergang beschreibt auch den Übergang von der Summenfunktion zum Integral.
Auf Feinheiten wollte ich jetzt nicht zu sehr eingehen, zumal dies an anderer Stelle auch etwas genauer beschrieben sein sollte, z.B. http://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html (insbesondere der Abschnitt "Das Integral als Grenzwert von Summen").
Wenn also in dem hier vorliegenden Fall von einer Differenzfunktion zur bestimmung der Fläche die Rede ist, ist nach meinem Verständnis der zweite (unexakte) Ansatz gemeint. Das hängt aber ganz besonders auch davon ab
Beste Grüße
Biesterfeld--
Art.1: Et es wie et es
Art.2: Et kütt wie et kütt
Art.3: Et hätt noch immer jot jejange
Das Kölsche Grundgesetz-
Hej,
scheiße ! Jetzt hab ich mich verklickt, ich wollte eigentlich in die Vorschau!
Also nun weiter:
[...] Das hängt aber ganz besonders auch davon ab, wie Ihr das im Unterricht bezeichnet habt. Es könnte nämlich in dem vorliegenden Fall auch sein, dass euer Lehrer mit der Differenzfunktion einfach den Ausdruck [latex]f(x)-g(x)[/latex] gemeint haben könnte.
... was ich nachdem ich mir den Kappes den ich zuerst geschrieben habe nun sehr gut vorstellen kann und mir auch direkt hätte sparen können die Riemansche Integrations-Methode hier in aller Breite erklären zu müssen ...
*Aaaarghhh*
Beste Grüße
Biester*der jetzt erstmal den Absende-Button per CSS sonstwohin verschiebt*feld--
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Das Kölsche Grundgesetz-
... was ich nachdem ich mir den Kappes den ich zuerst geschrieben habe nun sehr gut vorstellen kann und mir auch direkt hätte sparen können die Riemansche Integrations-Methode hier in aller Breite erklären zu müssen ...
*Aaaarghhh*
*g* ... trotzdem: Danke
Markus
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Hallo
[latex]\lim_{\Delta x \to \infty}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{d f(x)}{d x}[/latex]
... ich weiß, dass Du das besser weißt ...
[latex]\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{d f(x)}{d x}[/latex]
Sowas passiert, Dir und mir :-)
Freundliche Grüße
Vinzenz
-
Hej,
Sowas passiert, Dir und mir :-)
*g* genau darauf hab ich gewartet ...
Mein Posting ist zum Zerreißen freigegeben, das strotzt ja nur vor Fehlern!Ich hoffe du hast Dir meine Bemerkung nicht zu sehr zu Herzen genommen, war nicht bös gemeint.
Beste Grüße
Biester*Der mal den Absenden-Button suchen geht*feld--
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Das Kölsche Grundgesetz
-
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Hello out there!
Das Differentialsymbol 'd' steht nicht für eine Variable, wird also in LaTeX nicht kursiv, sondern gerade gesetzt:
[latex]\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}[/latex]
Und hier fehlten Klammern:
[latex]\int^b_a \left( f(x)-g(x) \right) \mathrm{d} x[/latex]
Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX
See ya up the road,
Gunnar--
„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe)-
gudn tach!
Das Differentialsymbol 'd' steht nicht für eine Variable, wird also in LaTeX nicht kursiv, sondern gerade gesetzt:
das ist pauschal so nicht ganz richtig. manche machens so, andere so. es haengt ein bissl vom standpunkt ab. aber man kann wohl sagen "beides ist richtig", es sollte aber innerhalb eines kontext moeglichst einheitlich verwendet werden.
die goetter z.b. (also Knuth und sogar die ams) setzen das "d" kursiv. und du willst doch jetzt nich blasphemisch werden, oder? ;-)ja, und da wurde auch drueber diskutiert:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe_Diskussion:TeX#integral:_dx_vs._dx
prost
seth -
gudn tach!
Und hier fehlten Klammern:
[latex]\int^b_a \left( f(x)-g(x) \right) \mathrm{d} x[/latex]
afais muessen da (nach gaengiger konvention) keine aeusseren klammern hin.
durch das integralzeichen und das "dx" ist eindeutig gekennzeichnet, wie das zu verstehen ist.prost
seth-
Hej,
[latex]\int^b_a \left( f(x)-g(x) \right) \mathrm{d} x[/latex]
afais muessen da (nach gaengiger konvention) keine aeusseren klammern hin.
Da weiß ich aber ganz genau, dass es bei uns in der Schule wie auch im Grundstudium knallhart Punktabzug gab. Begründung: Punkt vor Strichrechnung! Basta!
durch das integralzeichen und das "dx" ist eindeutig gekennzeichnet, wie das zu verstehen ist.
Seh ich auch so. War aber in dem konkreten Fall trotzdem ein Versehen.
Beste Grüße
Biesterfeld--
Art.1: Et es wie et es
Art.2: Et kütt wie et kütt
Art.3: Et hätt noch immer jot jejange
Das Kölsche Grundgesetz-
Hello out there!
[latex]\int^b_a \left( f(x)-g(x) \right) \mathrm{d} x[/latex]
afais muessen da (nach gaengiger konvention) keine aeusseren klammern hin.
Wenn du
[latex]\int^b_a f(x) - g(x) \mathrm{d} x = f(x) - \int^b_a g(x) \mathrm{d} x[/latex]
meinst, dann nicht.Wenn du aber die Differenzfunktion f(x) - g(x) integrieren willst, dann schon.
Da weiß ich aber ganz genau, dass es bei uns in der Schule wie auch im Grundstudium knallhart Punktabzug gab.
Recht so.
Begründung: Punkt vor Strichrechnung! Basta!
Eben.
See ya up the road,
Gunnar--
„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe) -
gudn tach!
[latex]\int^b_a \left( f(x)-g(x) \right) \mathrm{d} x[/latex]
afais muessen da (nach gaengiger konvention) keine aeusseren klammern hin.
Da weiß ich aber ganz genau, dass es bei uns in der Schule wie auch im Grundstudium knallhart Punktabzug gab. Begründung: Punkt vor Strichrechnung! Basta!
hehe! ok, ok. da viele (ingenieure und physiker) das "dx" nicht symbolisch/historisch[1] sondern tatsaechlich als variable verstehen, ist es wohl unmissverstaendlicher, da klammern zu setzen.
aber: setzt man beides, also das integral-S (\int) und die "dx"-dinger, dann sind klammern eigentlich unnoetig, denn wenn
[latex]\int x+y,dt[/latex] dasselbe waere wie [latex]x+\int y,dt[/latex], dann haette das integral-S praktisch keine sinnvolle bedeutung und koennte einfach weggelassen werden.
und das tun die physiker ja oft auch einfach. _dann_ (aber nur dann) sind die klammern tatsaechlich nicht redundant.im studium bei den mathematikern gibt es meiner erfahrung nach jedenfalls keinen abzug wegen sowas.
prost
seth[1] unabhaengig davon, ob man das 'd' nun kursiv setzt, oder nicht.
-
Hello out there!
dann haette das integral-S praktisch keine sinnvolle bedeutung
Doch; die des Summenzeichens.
Die Fläche unter einer Kurve ist ja mit Rechtecken angenähert:
[latex]\sum_{i=0}^{n-1} f(a + i \Delta x) \cdot \Delta x[/latex] mit [latex]\Delta x = \frac{b - a}{n}[/latex]Wird n nun unendlich groß, wird ∆x infinitesimal klein: dx. Dann wird daraus
[latex]\int_a^b f(x) \cdot \mathrm{d} x[/latex]Aus ∆x wird dx; aus ∑ wird ∫.
und koennte einfach weggelassen werden.
Nö.
f(x) ⋅ dx ist schon eine Multiplikation (der Flächeninhalt eines infinitesimal schmalen Rechtecks). Steht statt f(x) eine Summe (Differenz), dann gehört dieser Term in Klammern.
See ya up the road,
Gunnar--
„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe)-
gudn tach!
dann haette das integral-S praktisch keine sinnvolle bedeutung
Doch; die des Summenzeichens.
beim summenzeichen muss man nicht dx oder was aehnliches dazu schreiben.
dort ist das symbol somit nicht redundant (bei der einsteinschen summenkonvention muss kontextuell klar gemacht werden, dass es sich um eine summe handelt).[erklaerung aus der schule, was ein integral ist]
ja, in der summe hat das integral-s seine herkunft.
aber ein integral ist eben mittlerweile nicht mehr bloss eine summe lauter kleiner deltas wie vor ueber hundert jahren, sondern etwas abstrakteres. die funktionalanalysis samt masstheorie zeigen dies.und koennte einfach weggelassen werden.
Nö.
doch.
aber wenn du nicht einsiehen _willst_, dass es mehrere konventionen gibt und darunter auch eine sehr gaengige, die eben keine klammern dort verlangt, mit der begruendung, dass alles zwischen den beiden symbolen mit absicht zwischen den symbolen steht, dann sollten wir die diskussion wohl abbrechen.f(x) ⋅ dx ist schon eine Multiplikation
ich sagte bereits, dass das _eine_ denkweise ist, aber nicht die einzig richtige. wenn ein anfaenger-mathematiker auf einem uebungsblatt mit "dx" _multipliziert_ haette, haette man ihm bei uns _dafuer_ punktabzug gegeben. ;-)
wir hatten auch ein paar physiker bei uns in den ersten semestern. wenn die was gesagt haben, von wegen "da muss man dann mit dx multiplizieren", ist der prof. an die decke gegangen und hat - ein wenig im spass - auf "die physiker" und ihre "schwarzen messen" geschimpft.
als ich dann bei den maschinenbauern gesehen habe, dass sowas (also "schwarze messen", nicht auf-physiker-schimpfen) staendig machen, habe ich gemerkt, dass die verdammt viel "glueck" haben, nur in diesem kleinen bereich der mathematik zu hantieren. sonst wuerden sie naemlich nur noch bull-shit herausbekommen, ohne einen rechenfehler zu entdecken.
aber das ist ja gerade der witz. das ist nicht "glueck" sondern pragmatik und somit duerfen die das. dennoch waere es toericht, deren denk- bzw. daraus resultierende schreibweise als die einzig wahre anzuerkennen.ich fuer meinen teil habe in dieser diskussion wenigstens gelernt, dass das dx=variable-symptom _noch_ groessere ausmasse angekommen hat, als ich bisher dachte, und dass ich insofern bei der schreibweise evtl. darauf achten muss, wenn ich was schreibe, was auch nicht-mathematiker lesen. schlimmstenfalls setze ich halt klammern. ist mir auch egal. hauptsache es wird verstanden.
prost
seth
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Hallo,
Meine Frage: Was ist der Unterschied zwischen einer Differenz- und einer Differenzialfunktion?
Beide Begriffe sind mir neu. Meinst Du vielleicht eher den Unterschied zwischen Differenzbildung und einer Differenzierung?
Am Besten isses, Du sagtst die Klausur morgen ab mit der Begründung, dass die Begriffe nicht geklärt wurden seitens des Dozenten.
--roro
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Tach, roro.
Am Besten isses, Du sagtst die Klausur morgen ab mit der Begründung, dass die Begriffe nicht geklärt wurden seitens des Dozenten.
Erfahrungsgemäß ist die Ursache für dieses "nicht geklärt" häufig bloß, daß niemand dem Dozenten richtig™ zugehört hat. Es sei denn, es fällt das Wort "klausurrelevant" in einem Nebensatz. ;)
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Once is a mistake, twice is jazz.
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