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Max. größe Quadrate in Rechteck
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Gunnar Bittersmann
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0 Gunnar Bittersmann
Max. größe Quadrate in Rechteck
Hallo,
ich habe ein kleines Mathematisches Problem.
Ich habe ein beliebiges Rechteck, mit dem Flächeninhalt a*b.
Dieses Rechteck soll jetzt x gleichgroße Quadrate enthalten.
Wie ermittelt man die maximale Kantenlänge eines Quadrates?
Bsp:
Rechteck: 20cm*5cm = 100cm²
In diesem Rechteck sollen jetzt 10 gleichgroße Quadrate, allerdings darf kein Quadrat das Rechteck verlassen.
Kann mir dort irgend jemand helfen?
Hat evt. jmd. eine Formel dafür, nach ca.
f([a_Rechteck],[b_Rechteck],[anzahl_Quadrate]) = [Kantenlänge_Quadrat]
-
hi,
Ich habe ein beliebiges Rechteck, mit dem Flächeninhalt a*b.
Dieses Rechteck soll jetzt x gleichgroße Quadrate enthalten.Wie ermittelt man die maximale Kantenlänge eines Quadrates?
Das dürfte also wohl eine Extremwert-Aufgabe sein.
Bsp:
Rechteck: 20cm*5cm = 100cm²In diesem Rechteck sollen jetzt 10 gleichgroße Quadrate, allerdings darf kein Quadrat das Rechteck verlassen.
In einem Rechteck kannst du w Quadrate in waagerechter, und v Quadrate in vertikaler Richtung unterbringen.
Da die Anzahl von x Quadraten vorgegeben ist, ist also klar das v*w = x sein muss (1. Bedingung)
Außerdem muss die Kantenlänge k deiner Quadrate mal w kleiner als oder gleich der waagerechten Ausdehnung a deines Rechteckes sein (2. Bedingung),
sowie die die Kantenlänge k mal v kleinergleich der vertikalen Ausdehnung b (3. Bedingung).Diese drei Bedingungen formulierst du jetzt mal mathematisch, und gehst dann ähnlich vor wie beim Anwendungsbeispiel in der wikipedia ...
gruß,
wahsaga--
/voodoo.css:
#GeorgeWBush { position:absolute; bottom:-6ft; }-
In einem Rechteck kannst du w Quadrate in waagerechter, und v Quadrate in vertikaler Richtung unterbringen.
Da die Anzahl von x Quadraten vorgegeben ist, ist also klar das v*w = x sein muss (1. Bedingung)Nein, wahsaga, das ist keinesfalls klar.
Bsp. a = 4, b = 3, x = 11.
Du siehst, dass man das Rechteck mit größeren Quadraten parkettieren kann als mit elfen in einer Reihe?
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)-
hi,
Da die Anzahl von x Quadraten vorgegeben ist, ist also klar das v*w = x sein muss (1. Bedingung)
Nein, wahsaga, das ist keinesfalls klar.
Wieso nicht?
Bsp. a = 4, b = 3, x = 11.
Du siehst, dass man das Rechteck mit größeren Quadraten parkettieren kann als mit elfen in einer Reihe?
Dann ist aber die Bedingung der Aufgabenstellung, Zitat:
Dieses Rechteck soll jetzt x gleichgroße Quadrate enthalten
nicht mehr erfüllt ...
gruß,
wahsaga--
/voodoo.css:
#GeorgeWBush { position:absolute; bottom:-6ft; }-
Hallo wahsaga,
Dann ist aber die Bedingung der Aufgabenstellung, Zitat:
Dieses Rechteck soll jetzt x gleichgroße Quadrate enthalten
nicht mehr erfüllt ...Wieso? Es steht in der Aufgabenstellung _nicht_ drin, dass die Fläche komplett ausgefüllt werden soll. Schau' Dir das Ausgangsproblem an. Es ist nicht möglich, dieses Rechteck mit 10 gleichgroßen Quadraten komplett zu füllen. Bei Gunnars Vorschlag sind 11 Einheitsquadrate die bestmögliche Lösung, v*w ist aber ungleich x. Du kannst wieder nur fordern:
x <= v*w
In einer Reihe können halt Quadrate übrigbleiben, die nicht "belegt" sind.
Freundliche Grüße
Vinzenz
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hi,
Wieso? Es steht in der Aufgabenstellung _nicht_ drin, dass die Fläche komplett ausgefüllt werden soll.
Hab ich nicht behauptet.
Schau' Dir das Ausgangsproblem an. Es ist nicht möglich, dieses Rechteck mit 10 gleichgroßen Quadraten komplett zu füllen.
War ja - nach meinem Verständnis - auch nicht verlangt:
Dieses Rechteck soll jetzt x gleichgroße Quadrate enthalten
Von komplettem Ausfüllen ist nicht die Rede, sondern nur davon dass das Rechteck x Quadrate "enthalten" soll [1].
Bei Gunnars Vorschlag sind 11 Einheitsquadrate die bestmögliche Lösung, v*w ist aber ungleich x.
Eben deshalb ist sie m.E. nicht die bestmögliche, weil sie die wesentliche Forderung nach Anzahl der Quadrate gleich x nicht erfüllt.
In einer Reihe können halt Quadrate übrigbleiben, die nicht "belegt" sind.
Oder auch andere Flächen, die nicht unbedingt quadratisch sind.
[1] Wenn man an diesem Punkt spitzfindig werden wollte, könnte man auch x Quadrate mit Seitenlänge gleiche kleinere der beiden Seitenlängen des Rechtecks übereinanderlegen - das Rechteck würde sie ja dann immer noch "enthalten" ;-)
gruß,
wahsaga--
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Hallo wahsaga,
War ja - nach meinem Verständnis - auch nicht verlangt:
Dieses Rechteck soll jetzt x gleichgroße Quadrate enthalten
Von komplettem Ausfüllen ist nicht die Rede, sondern nur davon dass das Rechteck x Quadrate "enthalten" soll [1].dabei ist x eine Ausgangsgröße des Problems, ich zitiere das Ausgangsposting:
f([a_Rechteck],[b_Rechteck],[anzahl_Quadrate]) = [Kantenlänge_Quadrat]
[1] Wenn man an diesem Punkt spitzfindig werden wollte, könnte man auch x Quadrate mit Seitenlänge gleiche kleinere der beiden Seitenlängen des Rechtecks übereinanderlegen - das Rechteck würde sie ja dann immer noch "enthalten" ;-)
Hehe, das ist klar; wir würden hier doch nie und nimmer solche Quadra^wHaare spalten. *g*
Freundliche Grüße
Vinzenz
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Bsp. a = 4, b = 3, x = 11.
Du siehst, dass man das Rechteck mit größeren Quadraten parkettieren kann als mit elfen in einer Reihe?Dann ist aber die Bedingung der Aufgabenstellung, Zitat:
Dieses Rechteck soll jetzt x gleichgroße Quadrate enthalten
nicht mehr erfüllt ...Doch wahsaga,
ist die gewünschte Parkettierung für a = 4, b = 3, x = 11.
Nix mit v * w = x.
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)-
ist die gewünschte Parkettierung für a = 4, b = 3, x = 11.
Kleine Änderung der Aufgabe, große Folgen:
ist die gewünschte Parkettierung für a = 4, b = 2, x = 11.
So trivial ist das Problem nicht …
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)
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Hat evt. jmd. eine Formel dafür, nach ca.
f([a_Rechteck],[b_Rechteck],[anzahl_Quadrate]) = [Kantenlänge_Quadrat]Nein, Klaus, das nicht. Erstmal nur eine Abschätzung:
[latex]q \le \sqrt{\frac{ab}{x}}[/latex]Ich glaub aber, ich bin einem Algorithmus auf der Spur. Wann musst du die Hausaufgabe abgegben?
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)-
Hallo Gunnar,
Nein, Klaus, das nicht. Erstmal nur eine Abschätzung:
[latex]q \le \sqrt{\frac{ab}{x}}[/latex]noch eine einfache untere Schranke dazu:
[latex] \frac{min(a,b)}{x} \le q \le \sqrt{\frac{ab}{x}}[/latex]
Ich habe allerdings keine Ahnung, ob die Schreibweise min(a, b, ...) für das Minimum korrekt ist.
Freundliche Grüße
Vinzenz
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noch eine einfache untere Schranke dazu:
[latex] \frac{min(a,b)}{x} \le q \le \sqrt{\frac{ab}{x}}[/latex]Hi Vinzenz,
Da werf ich mal noch eine größere untere Schranke in die Runde:
[latex]\min\left(\frac{\max(a,b)}{x}, a, b\right) \le q \le \sqrt{\frac{ab}{x}}[/latex]Ich habe allerdings keine Ahnung, ob die Schreibweise min(a, b, ...) für das Minimum korrekt ist.
Denke schon, in LaTeX aber mit Backslash "\min", ist ja die Bezeichnung einer Funktion, nicht einer Variablen (wird nicht kursiv gesetzt).
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)
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