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Mathematik: zweite Lösung für: 1/2 = sin 0,52 t
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seth
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Gunnar Bittersmann
0 0 seth
0 einen habe ich noch
Mathematik: zweite Lösung für: 1/2 = sin 0,52 t
Hallo,
Ich komme hier gerade nicht weiter mit meiner Aufgabe. Ich habe folgende Gleichung:
1/2 = sin ( 0,52 * t )
sin^-1(1/2) = 0,52 * t
0,523598775 = 0,52 * t
1,00692 = t
Ok das wäre die erste Lösung. Im Lösungsheft steht aber, dass es noch eine zweite gibt, ist ja klar, auf der anderen Seite des Einheitskreises hat Sinus den gleichen Wert, und bei einer Rechnung mit Graden kann ich mich erinnern, dass wir 180° - alpha + n * 360° gerechnet haben, was mache ich aber bei der obrigen rad Rechnung? Irgendwie habe ich ein Brett vor dem Kopf.
Grüße
Jeena Paradies
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Ok das wäre die erste Lösung. Im Lösungsheft steht aber, dass es noch eine zweite gibt, ist ja klar, auf der anderen Seite des Einheitskreises hat Sinus den gleichen Wert, und bei einer Rechnung mit Graden kann ich mich erinnern, dass wir 180° - alpha + n * 360° gerechnet haben, was mache ich aber bei der obrigen rad Rechnung? Irgendwie habe ich ein Brett vor dem Kopf.
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Hallo,
Hm danke, das gleiche steht bei mir im Schulbuch. Ich kann das leider immer noch nicht ausrechnen.
Grüße
Jeena Paradies-
http://de.wikipedia.org/wiki/Bogenmaß
Hm danke, das gleiche steht bei mir im Schulbuch. Ich kann das leider immer noch nicht ausrechnen.Die zweite Lösung bekommst du indem du PI in der Arkusfunktion addierst. Denn PI (im Bogenmaß) entspricht 180° im Gradmaß. d.h. du gehst dann 180° um den Kreis herum und bekommst somit deine 2. Lösung.
lg Gerhard
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Hallo,
Die zweite Lösung bekommst du indem du PI in der Arkusfunktion addierst. Denn PI (im Bogenmaß) entspricht 180° im Gradmaß. d.h. du gehst dann 180° um den Kreis herum und bekommst somit deine 2. Lösung.
Hm, das stimmt doch nicht, es müsste nach meinem Verständniss, wenn dann PI - alpha sein, aber ich glaube mein Problem besteht darin dass ich nicht weiß was in der oben aufgeführten rechnun nun alpha ist?
Grüße
Jeena Paradies-
es müsste nach meinem Verständniss, wenn dann PI - alpha sein,
Ja, Jeena, das ist auch noch eine Lösung. (Weil das Ergebnis der Sinusfunktion 1/2 positiv ist)
[…] dass ich nicht weiß was in der oben aufgeführten rechnun nun alpha ist?
Das Argument der Sinus-Funktion: 0,52 t.
Weitere Lösungen erhälst du durch Addition von 2kπ (k ∈ ℤ) zu den beiden schon gefundenen.
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)
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Sorry da hab ich vorschnell geantwortet.
Es kommt darauf an, ob dein t negativ oder positiv ist. Ist es negativ, so befindet sich der Winkel im 3. oder 4. Quadranten.
Befindet es sich im 3. Quadranten, musst du zum Winkel PI/2 addieren, um die 2. Lösung (die sich dann bestimmt im 4. Quadranten befindet).
Befindet es sich im 4. Quadranten, musst du PI/2 abziehen.Die Grafik zeigt das Beispiel, für ein positives t.
danke ms paint!
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wo ist denn die grafik jetzt hingekommen?
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wo ist denn die grafik jetzt hingekommen?
also hier der link: http://www.lj-dechantskirchen.at/sinus.GIF
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Hallo,
also hier der link: http://www.lj-dechantskirchen.at/sinus.GIF
Ich glaube die Beschriftung in der Grafik hat den Knackpunkt gebracht, auch wenn ich immer noch denke dass du da falsch rechnest wenn du 0,52*t + PI/2 machst, denn es müsste doch eigentlich heißen PI/2 - 0,52*t oder nicht? Dann wäre es das gleiche wie 180° - alpha.
Und jetzt endlich verstehe ich (hoffentlich ist das auch so ;-) ), dass alpha = 0,52*t oder irre ich mich?
Grüße
Jeena Paradies-
Genau, alpha ist letztlich der Winkel, also 0,52*t.
Und, peinlich peinlich, du hast wieder recht.
sinus(PI - alpha) = sinus(alpha), wenn 0 < alpha < PIich glaube jetzt müsste es stimmen
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Hallo Jeena,
als grundsätzlicher Lesetipp Wikipedia, Sinusfunktion.
1/2 = sin ( 0,52 * t )
Die Sinusfunktion nimmt den Wert 1/2 bei einem Winkel von 30 Grad an, d.h. pi/6, bei 90 Grad (pi/2) besitzt sie den Wert 1, bei 150 Grad (5/6 * pi, 180 Grad - 30 Grad) wieder den Wert 0,5.
sin^-1(1/2) = 0,52 * t
Nein, nicht Sinus hoch minus irgendwas, die Umkehrfunktion heißt arcsin :-)
Schau Dir auf Wikipedia das Intervall an, auf dem arcsin definiert ist.Im Einheitskreis haben wir die zwei Lösungen:
(1) 0,52 * t = pi/6 und
(2) 0,52 * t = 5/6 * piDaraus resultieren die Lösungen
(1) t = pi / (6 * 0,52)
(2) t = (5 * pi) / (6 * 0,52)Freundliche Grüße
Vinzenz
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Hallo,
Die Sinusfunktion nimmt den Wert 1/2 bei einem Winkel von 30 Grad an, d.h. pi/6, bei 90 Grad (pi/2) besitzt sie den Wert 1, bei 150 Grad (5/6 * pi, 180 Grad - 30 Grad) wieder den Wert 0,5.
Oh mann, da ist es, man kann es nur so leicht auflösen, weil es "zufällig" 1/2 ist und das ein exakter wert, von dem man auch exakt weiß, was auf der anderen seite ist. Ich sollte mit öfter mal die Tabelle mit den exakten werten angucken.
Grüße
Jeena Paradies
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Hallo,
Ich komme hier gerade nicht weiter mit meiner Aufgabe. Ich habe folgende Gleichung:
1/2 = sin ( 0,52 * t )
sin^-1(1/2) = 0,52 * t
0,523598775 = 0,52 * t
1,00692 = tMit der Beziehung (sin x)^2 + (cos x)^2 = 1 ergibt sich
cos x = ± QWurzel[1 - (sin x)^2]wobei x jetzt fuer 0.52*t steht. Eine Loesung liegt bereits vor, die andere ergibt sich entsprechend durch Vorzeichenwechsel, hier mal in JS-Code ausgedrueckt:
var t1=Math.asin(0.5)/0.52; var t2=Math.acos(-Math.sqrt(1-Math.sin(0.52*t1)*Math.sin(0.52*t1)))/0.52; alert("t1="+t1+" --> "+Math.sin(t1*0.52)+"\nt2="+t2+" --> "+Math.sin(t2*0.52));Ergebnis (im Bereich 0 bis 2Pi):
t1=1.006920722304421 --> 0.5
t2=5.034603611522105 --> 0.49999999999999994MfG, Thomas
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Hallo,
Ergebnis (im Bereich 0 bis 2Pi):
t1=1.006920722304421 --> 0.5
t2=5.034603611522105 --> 0.49999999999999994Das glaubst Du ja wohl selbst nicht!
Gruß Avalon
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Hallo,
Ergebnis (im Bereich 0 bis 2Pi):
t1=1.006920722304421 --> 0.5
t2=5.034603611522105 --> 0.49999999999999994Das glaubst Du ja wohl selbst nicht!
Die t-Werte beziehen sich auf das Bogenmaß, die zugehoerigen Winkel mit dem Faktor 180°/Pi entsprechend zu:
t1=57.69° bzw. t2=288.46°
MfG, Thomas
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Hallo,
Die t-Werte beziehen sich auf das Bogenmaß, die zugehoerigen Winkel mit dem Faktor 180°/Pi entsprechend zu:
t1=57.69° bzw. t2=288.46°
Das brauchst Du mir nicht zu sagen.
Dir empfehle ich den Beitrag von Vinzenz Mai zu lesen und anschließend darüber nachzudenken, wo Du einen Vorzeichenfehler gemacht haben könntest.Gruß Avalon
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Hallo,
Dir empfehle ich den Beitrag von Vinzenz Mai zu lesen und anschließend darüber nachzudenken, wo Du einen Vorzeichenfehler gemacht haben könntest.
Wenn Du auf diesen Beitrag anspielst, dann habe ich doch genau die beiden Ergebnisse erhalten.
MfG, Thomas
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Hallo,
Wenn Du auf diesen Beitrag anspielst, dann habe ich doch genau die beiden Ergebnisse erhalten.
Nein!
t2=5.034603611522105
ist deutlich größer als 5/6*piGruß Avalon
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Hallo,
Nein!
t2=5.034603611522105
ist deutlich größer als 5/6*piUnd wo hast Du den Faktor 0.52 im Sinus-Argument (0.52*t) gelassen?
Teile 5/6*pi durch 0.52 und es ergibt sich der von mir genannte Wert fuer t2, wie von Vinzenz ausgefuehrt:
(1) t = pi / (6 * 0,52)
(2) t = (5 * pi) / (6 * 0,52)MfG, Thomas
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t1=57.69° bzw. t2=288.46°
Thomas,
Ich denke nicht, dass die Umrechnung Sinn macht und Grad eine geeignete Maßeinheit für t ist.Ich sehe auch ohne meine Glaskugel den physikalischen Hintergrund der Ausgangsgleichung: 0.52 ist wohl die Kreisfrequenz (SI-Einheit rad/s) und t die Zeit.
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)
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Hallo,
1/2 = sin ( 0,52 * t )
Mit der Beziehung (sin x)^2 + (cos x)^2 = 1 ergibt sich
cos x = ± QWurzel[1 - (sin x)^2]Das ist der Satz des Pythagoras, soweit also richtig.
wobei x jetzt fuer 0.52*t steht.
Durch einsetzen der obigen Bedingung 1/2 = sin x in Deine Gleichung ergibt sich:
cos x = ± QWurzel[1 - 1/4] = ± QWurzel[3/4] = ±0,86602540378443864676372317075294
der arccos des positiven Wertes ist pi/6 = 0,52359877559829887307710723054658, der des negativen Wertes 5/6pi = 2,6179938779914943653855361527329
Wie Du auf einen Wert von 5.034603...
kommst bleibt völlig schleierhaft.Gruß
Avalon-
Hallo,
Durch einsetzen der obigen Bedingung 1/2 = sin x in Deine Gleichung ergibt sich:
cos x = ± QWurzel[1 - 1/4] = ± QWurzel[3/4] = ±0,86602540378443864676372317075294
der arccos des positiven Wertes ist pi/6 = 0,52359877559829887307710723054658, der des negativen Wertes 5/6pi = 2,6179938779914943653855361527329
Wie Du auf einen Wert von 5.034603...
kommst bleibt völlig schleierhaft.Du hast die x-Werte ausgerechnet, deren Sinus 1/2 ergibt. Gesucht sind aber die t-Werte, also t=x/0.52 und daraus folgt:
t1=1.00692
t2=5.03460Nichts anderes habe ich behauptet bzw. berechnet (siehe den JS-Code, der auch die Probe enthaelt).
MfG, Thomas
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gudn tach!
Ich komme hier gerade nicht weiter mit meiner Aufgabe. Ich habe folgende Gleichung:
1/2 = sin ( 0,52 * t )
eigentlich sollte immer dazu gesagt werden, welche werte fuer [latex]t[/latex] ueberhaupt in frage kommen duerfen. wenn z.b. gefragt ist, fuer welche reelle zahlen [latex]t[/latex] die gleichung erfuellt ist, ist die loesungsmenge eine andere als wenn gefragt ist, fuer welche [latex]t[/latex] aus dem intervall [latex]\left[0,2\pi\right][/latex] die gleichung stimmt.
sin^-1(1/2) = 0,52 * t
diese gleichung ist nicht aquivalent zu der ersten.
beim sinus gilt naemlich:
[latex]\sin(x)=\sin(x+2k\pi)\quad(x\in\mathbb{R}, k\in\mathbb{Z})\text{.}[/latex]
es darf also im argument immer ein ganzzahliges vielfaches von [latex]2\pi[/latex] addiert werden, ohne dass das ergebnis sich aendert. deswegen gibt es nicht nur eine oder zwei, sondern so unendlich viele verschiedene loesungen.trotzdem ist dein loesungsansatz soweit ok:
[latex]\frac 12=\sin(0{,}52t)[/latex]
ist aequivalent zu
[latex]\frac 12=\sin(0{,}52t+2k\pi)\quad(k\in\mathbb{Z})\text{.}[/latex]
wende auf beiden seiten den arkussinus an:
[latex]\arcsin(\frac 12)=0{,}52t+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})\text{.}[/latex]
damit erhaeltst du alle loesungen:
[latex]t=\frac {\arcsin(\frac 12)-2k\pi}{0{,}52}\quad(k\in\mathbb{Z})\text{.}[/latex]wenn nun noch ein einschraenkung fuer [latex]t[/latex] auf ein bestimmtes intervall besteht, kannst du die dafuer passenden [latex]k[/latex] suchen.
prost
seth-
Hallo,
eigentlich sollte immer dazu gesagt werden, welche werte fuer [latex]t[/latex] ueberhaupt in frage kommen duerfen.
Ja, stimmt das habe ich vergessen zu sagen: 0 < t < 10
[latex]\sin(x)=\sin(x+2k\pi)\quad(x\in\mathbb{R}, k\in\mathbb{Z})\text{.}[/latex]
Ah ja stimmt, bei mir fehlt das k
wende auf beiden seiten den arkussinus an:
[latex]\arcsin(\frac 12)=0{,}52t+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})\text{.}[/latex]Aah ich kann mich dunkel noch an arkussinus erinnern, damals in Deutschland habe ich das noch so gelernt. Hier sind die Lehrer so Taschenrechnerversessen, dass sie noch _nie_ erwähnt haben dass das so heißt, sondern _immer_ nur sagen "und dann tippt ihr ein SHIFT + sin, das ist sin^-1". In Deutschland haben wir nie einen Taschenrechner gesehen der Graphe zeichnen kann, hier muss man sich so einen für $sehrvielgeld schon am Anfang des Gymnasiums kaufen, wenn man das nicht tut wie ich kommt der Lehrer alle zwei Stunden und fragt ob man das denn schon gekauft hat (und nein ich habe das letzte Halbjahr keinen gekauft und bin dennoch mit einer 2 rausgekommen).
[latex]t=\frac {\arcsin(\frac 12)-2k\pi}{0{,}52}\quad(k\in\mathbb{Z})\text{.}[/latex]
ok das klingt logisch.
wenn nun noch ein einschraenkung fuer [latex]t[/latex] auf ein bestimmtes intervall besteht, kannst du die dafuer passenden [latex]k[/latex] suchen.
Jo, wie oben angemerkt: 0 < t < 10 und ich glaube jetzt kann ich das auch lösen, vielen Dank euch allen!
Grüße
Jeena Paradies-
Hallo Freunde des gehobenen Forumsgenusses,
In Deutschland haben wir nie einen Taschenrechner gesehen der Graphe zeichnen kann, hier muss man sich so einen für $sehrvielgeld schon am Anfang des Gymnasiums kaufen, [...]
Bei uns heißt dieses Teil "GTR" (Graphikfähiger Taschenrechner) und wird glücklicherweise von der Schule gestellt. Wozu diese Anzeige von Graphen gut sein soll habe ich noch nicht herausgefunden, aber dafür wie man ihn programmiert (Basic-Derivat) ;-)
Gruß
Alexander Brock
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damit erhaeltst du alle loesungen:
[latex]t=\frac {\arcsin(\frac 12)-2k\pi}{0{,}52}\quad(k\in\mathbb{Z})\text{.}[/latex]Nein, seth, das sind zwar unendlich viele Lösungen; aber hast noch undendlich viele Lösungen unterschlagen.
[latex]\arcsin \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \pi[/latex], aber [latex]x = \frac{5}{6} \pi[/latex] ist auch Lösung der Gleichung [latex]\sin x = \frac{1}{2}[/latex]
_Alle_ Lösungen der Gleichung sind [latex]t = \frac {1}{0.52} \left(\frac{1}{6} + 2k\right) \pi[/latex] _und_ auch [latex]t = \frac {1}{0.52} \left(\frac{5}{6} + 2k\right) \pi[/latex] mit k ∈ ℤ.
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)-
_Alle_ Lösungen der Gleichung sind [latex]t = \frac {1}{0.52} \left(\frac{1}{6} + 2k\right) \pi[/latex] _und_ auch [latex]t = \frac {1}{0.52} \left(\frac{5}{6} + 2k\right) \pi[/latex] mit k ∈ ℤ.
So genau ist's richtig!
Gruß
Avalon-
Hallo,
_Alle_ Lösungen der Gleichung sind [latex]t = \frac {1}{0.52} \left(\frac{1}{6} + 2k\right) \pi[/latex] _und_ auch [latex]t = \frac {1}{0.52} \left(\frac{5}{6} + 2k\right) \pi[/latex] mit k ∈ ℤ.
So genau ist's richtig!Jo, ich habe das grad eben mit den Zahlen durchgerechnet, weil ich ja ganz sicher gehen wollte ;-) Und in seths rechnung fehlte auch die zweite Lösung für 0 < t < 10
Grüße
Jeena Paradies
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gudn tach Gunnar!
Nein, seth, [...] hast noch unendlich viele Lösungen unterschlagen.
hoffentlich verschwindet dieser thread ganz schnell im archiv und wird nie nie von irgendwem ausgegraben...
es gibt wohl gar nicht so viel asche wie ich sie jetzt noetig haette.prost
seth
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Hallo,
Kaum ist die eine Aufgabe einigermaßen kappiert stockt es schon wieder bei der nächsten.
0 = 20 + 25 sin ( 0,85x )
-20 = 25 sin ( 0,85x )
-20/25 = sin ( 0,85x )
-4/5 = sin ( 0,85x )
arcsin(-4/5) = 0,85x
arcsin(-4/5)/0,85 = x
-1,060635551 = xUnd da stimmt schon der erste Wert gar nicht :-( irgendwo mache ich jedes mal einen Rechenfehler, wenn ich mir die Funktion aufzeichnen lasse dann schneidet die Kurve die x-Achse bei 4,8 das erste mal. Und wie ich bei -4/5 auf den zweiten Wert komme, da habe ich absolut keine Ahnung.
Grüße
Jeena Paradies-
arcsin(-4/5)/0,85 = x
-1,060635551 = xUnd da stimmt schon der erste Wert gar nicht :-(
Stimmt, Jeena.
arcsin(-0.8) = -0.9273; -0.9273 / 0.85 = -1.0909.Und wie ich bei -4/5 auf den zweiten Wert komme, da habe ich absolut keine Ahnung.
Zeichne dir doch mal eine Periode der Sinus-Funktion auf, meinetwegen das Intervall ]-π, π], und die Parallele zur x-Achse bei -0.8. Dann findest du den zweiten Wert.
Und nicht die 2kπ vergessen.
Live long and prosper,
Gunnar--
„Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuchs, sie zu erwerben.“ (Albert Einstein)
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