sin 45° = 1/2 * sqrt(2) ???

[Vinzenz Mai]

Hallo Richard,

Mir geht einfach nicht in den Kopf wie man von dem Sinus von 45° auf
1/2 * Wurzel(2)
kommen soll.

Bei einem Winkel von 45° ist der Sinus gleich dem Kosinus, leicht vorzustellen im Einheitskreis. Dann kann man diese beiden Werte als Seiten für ein Quadrat nehmen,

Hier musst Du ansetzen :-) Genau da. Und vergiß das Quadrat. Nimm das rechtwinklige Dreieck, gebildet aus Hypotenuse (im Einheitskreis hat diese die Länge 1), An- und Gegenkathete. An- und Gegenkathete sind in diesem Spezialfall gleich lang.

Somit ergibt sich aus Pythagoras:

Ankathete^2 + Gegenkathete^2 = Hypotenuse^2

=> 2 * Gegenkathete^2 = 1^2
=> Gegenkathete^2 = 1/2
=> Gegenkathete = 1/2 * Wurzel(2)
   (da die Gegenkathete eine positive Länge hat,
   muss die negative Lösung nicht betrachtet werden.)

Nun hast Du sin(alpha) = Gegenkathete / Hypotenuse
=> Im Einheitskreis sin = Gegenkathete / 1 = Gegenkathete
d.h. im Einheitskreis entspricht der Sinus eines Winkels der Länge der Gegenkathete, der Cosinus der Länge der Ankathete. Somit folgt:

=> sin(45°) = 1/2 * Wurzel(2)

Siehe auch Wikipedia, Einheitskreis.

Freundliche Grüße

Vinzenz