sin 45° = 1/2 * sqrt(2) ???

[Richard]

Hallo,

Mir geht einfach nicht in den Kopf wie man von dem Sinus von 45° auf

1/2 * Wurzel(2)

kommen soll.

Bei einem Winkel von 45° ist der Sinus gleich dem Kosinus, leicht vorzustellen im Einheitskreis. Dann kann man diese beiden Werte als Seiten für ein Quadrat nehmen, welches dann einen Flächeninhalt von (sin 45°)^2 hat (oder eben (cos 45°)^2 ). Hat es damit irgendwas zu tun?

Warum ist also:

sin 45° = 1/2 * Wurzel(2)

?

Beste Grüße

[Der Martin]

Hallo Richard,

Bei einem Winkel von 45° ist der Sinus gleich dem Kosinus, leicht vorzustellen im Einheitskreis. Dann kann man diese beiden Werte als Seiten für ein Quadrat nehmen, welches dann einen Flächeninhalt von (sin 45°)^2 hat (oder eben (cos 45°)^2 ). Hat es damit irgendwas zu tun?

ja, so geht es auch - aber bleib mal bei den Dreiecken, ich glaube, das ist leichter zu überblicken.
Wenn du die 45° im Einheitskreis einzeichnest, erhälts du doch ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenuse 1 ist (Radius des Einheitskreises) und dessen beide Katheten sin(45°)=cos(45°) betragen. Also ist laut Pythagoras

1² = sin(45°)² + sin(45°)²

oder

(1/2)² = sin(45)²

Wenn wir jetzt mal mathematisch-inkorrekt die negativen Lösungen dieser Gleichung ignorieren, erhalten wir

sqrt(1/2) = sin(45°)

qed.  :-)

Schönes Wochenende noch,
 Martin

[Der Martin]

Hallo,

ich hatte da irgendwo noch ein Quadrat zuviel. Hier war's noch richtig, aber nur für die formale Herleitung wichtig:

1² = sin(45°)² + sin(45°)²

Aber 1² ist immer noch 1, dividiert durch 2 ergibt sich also richtig

1/2 = sin(45)²

In der nachfolgenden Zeile war ich dann wieder in der richtigen Spur.

sqrt(1/2) = sin(45°)
qed.  :-)

Ciao,
 Martin

[Richard]

Hallo Martin,

Mensch, da hab ich vor lauter Exponentialgedenke den simplen Pythagoras vergessen. Dankeschön!

Beste Grüße

[O'Brien]

Hi,

Warum ist also:

sin 45° = 1/2 * Wurzel(2)

nimm ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Kathetenlänge von 1. Such dir einen der spitzen Winkel aus und berechne den Sinus.

sin 45° = Gegenkathete / Hypotenuse

Nach Pythagoras ist aber die Hypotenuse die Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate:

H = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2)

=> sin 45° = 1 / sqrt(2)

Den Bruch auf der rechten Seite erweiterst du nun mit sqrt(2) und erhältst was?

Schönen Sonntag noch!
O'Brien

[Vinzenz Mai]

Hallo Richard,

Mir geht einfach nicht in den Kopf wie man von dem Sinus von 45° auf
1/2 * Wurzel(2)
kommen soll.

Bei einem Winkel von 45° ist der Sinus gleich dem Kosinus, leicht vorzustellen im Einheitskreis. Dann kann man diese beiden Werte als Seiten für ein Quadrat nehmen,

Hier musst Du ansetzen :-) Genau da. Und vergiß das Quadrat. Nimm das rechtwinklige Dreieck, gebildet aus Hypotenuse (im Einheitskreis hat diese die Länge 1), An- und Gegenkathete. An- und Gegenkathete sind in diesem Spezialfall gleich lang.

Somit ergibt sich aus Pythagoras:

Ankathete^2 + Gegenkathete^2 = Hypotenuse^2

=> 2 * Gegenkathete^2 = 1^2
=> Gegenkathete^2 = 1/2
=> Gegenkathete = 1/2 * Wurzel(2)
   (da die Gegenkathete eine positive Länge hat,
   muss die negative Lösung nicht betrachtet werden.)

Nun hast Du sin(alpha) = Gegenkathete / Hypotenuse
=> Im Einheitskreis sin = Gegenkathete / 1 = Gegenkathete
d.h. im Einheitskreis entspricht der Sinus eines Winkels der Länge der Gegenkathete, der Cosinus der Länge der Ankathete. Somit folgt:

=> sin(45°) = 1/2 * Wurzel(2)

Siehe auch Wikipedia, Einheitskreis.

Freundliche Grüße

Vinzenz