sin 45° = 1/2 * sqrt(2) ???
Richard
- sonstiges
Hallo,
Mir geht einfach nicht in den Kopf wie man von dem Sinus von 45° auf
1/2 * Wurzel(2)
kommen soll.
Bei einem Winkel von 45° ist der Sinus gleich dem Kosinus, leicht vorzustellen im Einheitskreis. Dann kann man diese beiden Werte als Seiten für ein Quadrat nehmen, welches dann einen Flächeninhalt von (sin 45°)^2 hat (oder eben (cos 45°)^2 ). Hat es damit irgendwas zu tun?
Warum ist also:
sin 45° = 1/2 * Wurzel(2)
?
Beste Grüße
Hallo Richard,
Bei einem Winkel von 45° ist der Sinus gleich dem Kosinus, leicht vorzustellen im Einheitskreis. Dann kann man diese beiden Werte als Seiten für ein Quadrat nehmen, welches dann einen Flächeninhalt von (sin 45°)^2 hat (oder eben (cos 45°)^2 ). Hat es damit irgendwas zu tun?
ja, so geht es auch - aber bleib mal bei den Dreiecken, ich glaube, das ist leichter zu überblicken.
Wenn du die 45° im Einheitskreis einzeichnest, erhälts du doch ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenuse 1 ist (Radius des Einheitskreises) und dessen beide Katheten sin(45°)=cos(45°) betragen. Also ist laut Pythagoras
1² = sin(45°)² + sin(45°)²
oder
(1/2)² = sin(45)²
Wenn wir jetzt mal mathematisch-inkorrekt die negativen Lösungen dieser Gleichung ignorieren, erhalten wir
sqrt(1/2) = sin(45°)
qed. :-)
Schönes Wochenende noch,
Martin
Hallo,
ich hatte da irgendwo noch ein Quadrat zuviel. Hier war's noch richtig, aber nur für die formale Herleitung wichtig:
1² = sin(45°)² + sin(45°)²
Aber 1² ist immer noch 1, dividiert durch 2 ergibt sich also richtig
1/2 = sin(45)²
In der nachfolgenden Zeile war ich dann wieder in der richtigen Spur.
sqrt(1/2) = sin(45°)
qed. :-)
Ciao,
Martin
Hallo Martin,
Mensch, da hab ich vor lauter Exponentialgedenke den simplen Pythagoras vergessen. Dankeschön!
Beste Grüße
Hi,
Warum ist also:
sin 45° = 1/2 * Wurzel(2)
nimm ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Kathetenlänge von 1. Such dir einen der spitzen Winkel aus und berechne den Sinus.
sin 45° = Gegenkathete / Hypotenuse
Nach Pythagoras ist aber die Hypotenuse die Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate:
H = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2)
=> sin 45° = 1 / sqrt(2)
Den Bruch auf der rechten Seite erweiterst du nun mit sqrt(2) und erhältst was?
Schönen Sonntag noch!
O'Brien
Hallo Richard,
Mir geht einfach nicht in den Kopf wie man von dem Sinus von 45° auf
1/2 * Wurzel(2)
kommen soll.
Bei einem Winkel von 45° ist der Sinus gleich dem Kosinus, leicht vorzustellen im Einheitskreis. Dann kann man diese beiden Werte als Seiten für ein Quadrat nehmen,
Hier musst Du ansetzen :-) Genau da. Und vergiß das Quadrat. Nimm das rechtwinklige Dreieck, gebildet aus Hypotenuse (im Einheitskreis hat diese die Länge 1), An- und Gegenkathete. An- und Gegenkathete sind in diesem Spezialfall gleich lang.
Somit ergibt sich aus Pythagoras:
Ankathete^2 + Gegenkathete^2 = Hypotenuse^2
=> 2 * Gegenkathete^2 = 1^2
=> Gegenkathete^2 = 1/2
=> Gegenkathete = 1/2 * Wurzel(2)
(da die Gegenkathete eine positive Länge hat,
muss die negative Lösung nicht betrachtet werden.)
Nun hast Du sin(alpha) = Gegenkathete / Hypotenuse
=> Im Einheitskreis sin = Gegenkathete / 1 = Gegenkathete
d.h. im Einheitskreis entspricht der Sinus eines Winkels der Länge der Gegenkathete, der Cosinus der Länge der Ankathete. Somit folgt:
=> sin(45°) = 1/2 * Wurzel(2)
Siehe auch Wikipedia, Einheitskreis.
Freundliche Grüße
Vinzenz