echo $begrüßung;
UPDATE farben set kategorie='schwarz und weiss' where kategorie='schwarz_und_weiss'
so gehts schonmal nicht, wäre auch zu schön gewesen...
Vielleicht steht ja nicht 'schwarz_und_weiss' in kategorie sondern 'schwarz_und_weiss ', oder sowas ähnliches.
MySQL bietet auch einen Satz von String-Funktionen an. REPLACE() ist eine, die du für dein Anliegen verwenden kannst.
echo "$verabschiedung $name";