echo $begrüßung;
if ( stripos($Second, $kids_array[$x] ) )
Das ist nur die Hälfte der Wahrheit. Wenn der gesuchte String am Anfang des Suchstrings vorkommt, gibt die Funktion die Position 0 zurück, welches durch PHPs impliziten Typecast zu false wird und die if-Bedingung nicht mehr erfüllt.
if (stripos($Second, $kids_array[$x]) === true)
Und das steht auch in groß und eingerahmt auf der Handbuchseite ...
echo "$verabschiedung $name";