echo $begrüßung;
Eventuell sähe jemand was du falsch machst, wenn du mal deine Connect-Zeile bekanntgibst (mit Dummy-Werten für Username und Passwort.)
Welche Zeile ist denn das? Ich habe nichts mit "connect" geschrieben?
Das wird der Fehler sein. Während das PHP auf deiner Testumgebung das ebenfalls dort installierte MySQL über seine eingestellten Default-Parameter zu kontaktieren weiß, funktioniert das auf dem Server des Hosters nicht mehr, da der mit hoher Wahrscheinlichkeit einen eigenen Datenbankserver ausgesetzt hat. Die Zugangsdaten müsste er dir mitgeteilt haben und damit baust du explizit eine Verbindung mitteln mysql_connect() auf.
echo "$verabschiedung $name";