dedlfix: AJAX - Datenübergabe und deren Codierung

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echo $begrüßung;

also nochmal zu dem MySQL Server Einstellungen:
Language generell: German (de-utf-8)
MySQL-Zeichensatz allgemein: UTF-8 Unicode
Kollation der SQL Verbindung: utf8_general_ci

Das sind die Einstellungen, die nur den phpMyAdmin betreffen. Dieser benutzt zur Kommunikation mit dem Server utf-8 (letzte Zeile). Da man diesen Wert pro Session einstellen kann, gelten für andere Clients möglicherweise andere Default-Werte.
Schau lieber nach, was unter "MySQL-System-Variablen anzeigen" für "globale Werte" bei den "character set *"-Einstellungen stehen. Wenn du nichts anderes festlegst gelten nämlich diese Werte.

Funktioniert mit der normalen Kommunikation zwischen Webseite und Datenbank optimal bis jetzt...

Glück gehabt. Manche bemerken, dass sie da Wissensdefizite haben, wenn die Daten bereits verloren sind, sprich: nur mit menschlicher Intelligenz und Handarbeit wieder rekonstruiert werden können.

Rufe ich irgendeine Tabelle auf zeigt er für die Textfelder:
Kollation: latin1_swedish_ci  <- ja ne iss klar.

Der Wert ist wie folgt aufgebaut: Zuerst kommt der verwendete Zeichensatz bzw. die Zeichenkodierung (wird im Handbuch immer als charset bezeichnet). Der zweite Wert gibt die Kollation an (collation). Schwedisch ist die Default-Einstellung. Warum auch nicht, MySQL AB ist ein schwedisches Unternehmen. Die Bedeutung von ci weiß ich nicht, die war bei mir bisher noch nicht wichtig.
Die Kollation sagt aus, wie Sortierungen und Vergleiche vorgenommen werden. Dass da schwedisch sortiert wird, fällt hierzulande bei der Sortierung von ü auf.
Für die Datenübertragung zwischen Client und Server spielt die Kollation keine große Rolle, da kommt es hauptsächlich auf den richtigen charset-Wert an.

Also nur die Kommunikation zwischen dem internen Stringinhalt in der PHP Seite und das was der SQL-Server bekommt ist irgendwie daneben.

Wir bekommen das schon hin ...

echo "$verabschiedung $name";