Problem gelöst

[dedlfix]

echo $begrüßung;

mysqli_query($db_link,"SET character_set_client = 'utf8'") or die("MySQL error: ".mysqli_error($db_link));
ist das Problem gelöst und Mysql-Abfragen berücksichtigen Umlaute korrekt.

SET character_set_client stellt nur die Kodierung für den Hinweg zum MySQL-Server ein. Normalerweise will man für den Rückweg die selbe Kodierung verwenden. SET NAMES ist dann das bessere Statement. Und da du mysqli verwendest wäre der allerbeste Weg die Verwendung der Funktion mysqli_set_charset().

echo "$verabschiedung $name";