Totales Differential

[Rafael]

Hallo Forum,
ich hätte mal eine in der Tendenz eher grundlegende Frage zum totalen Differential. Ich habe mir den Wikipedia-Artikel bereits zu verstehen versucht, das gleich vorweg. Ich studiere nun (in diesem Fall leider) VWL und nicht Mathe, wir haben hierin den Umgang mit solchen Ableitungsformen nicht wirklich gelernt, mehr deren Anwendung für "unsere Zwecke".

Das vielleicht fazugelegt: http://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential
Ich frage mich nun immer wieder was dieses "d" (Delta?) am Ende einer jeden Partiellen Ableitung im Vergleich zu den anderen Delta bedeutet? Das Delta f / Delta x verstehe ich ja, das entspricht der marginalen Änderung. Aber das dann gebräuchliche dx dahinter, was bringt das zum Ausdruck? Eine nicht-marginale Änderung? Eine Art Gewichtung der beiden Anteile? Wäre super, wenn mir jemand eine Erklärung liefern könnte, die auch ein Volkswirt versteht. Das kann der Matheprof, der uns Volkswirte regelmäßig maltretiert, nämlich leider nicht ganz so gut vermitteln...

Als Anwendungsbeispiel:

Ich habe eine Funktion f(x,y) und bilde hiervon das totale Differential.

d f(x,y) = Delta f / Delta x * dx + Delta f / Delta y * dy = 0

Wandle um, dass steht:

dx / dy = (Delta f / Delta y) / (Delta f / Delta x) und kann daraus, ohne die exakten Funktionen selbst zu kennen aus deren Zusammenhang erkennen wie eine inverse Funktion x sich bei Änderung y verhält. Ist ja alles schön unf´d gut, aber was das "d" zum Ausdruck bringt scheint mir dabei etwas durchwachsen, da sich hier meine Theorie der Absolutwerte aufhängt.

Wäre wirklich super, wenn mir jemand mit ein paar Erklärungen beistehen könnte!
Danke vielmals.

[Robert Bienert]

Moin!

ich hätte mal eine in der Tendenz eher grundlegende Frage zum totalen Differential. […] Ich studiere nun (in diesem Fall leider) VWL und nicht Mathe, wir haben hierin den Umgang mit solchen Ableitungsformen nicht wirklich gelernt, mehr deren Anwendung für "unsere Zwecke".

Das hatte ich mir schon fast gedacht.

Das vielleicht fazugelegt: http://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential
Ich frage mich nun immer wieder was dieses "d" (Delta?) am Ende einer jeden Partiellen Ableitung im Vergleich zu den anderen Delta bedeutet? Das Delta f / Delta x verstehe ich ja, das entspricht der marginalen Änderung. Aber das dann gebräuchliche dx dahinter, was bringt das zum Ausdruck?

Du meinst wahrscheinlich diese Gleichung: [latex]d f = \frac{\partial f}{\partial x} , d x + \frac{\partial f}{\partial y} , d y[/latex]

Erst einmal ein bisschen Begriffsklärung, die dein Prof. wahrscheinlich nicht so ganz korrekt erklärt hat (kenne ich auch so aus der VWL, wir Physiker sind da differenzierter):

[latex]\Delta x[/latex] bezeichnet eine Veränderung in der Variablen x und das ist ein »großes Delta«. [latex]\delta x[/latex], also ein »kleines Delta«, bezeichnet eine Variation (kommt aber in der VWL mit Sicherheit nicht vor). Das normale d steht für eine infitessimale Änderung, auch Differential oder Ableitung genannt und das Zeichen [latex]\partial[/latex] heißt _nicht_ Delta, sondern steht für die partielle Ableitung.

Das totale Differential [latex]d f[/latex] gibt nun die Ableitung der Funktion f, also die Richtung der größten Änderung. Der Ausdruck [latex]\frac{\partial f}{\partial x}[/latex] heißt nichts Anderes, als dass die Funktion f nach x abgeleitet wird, d.h. alle anderen Variablen bleiben konstant. Und das [latex]d x[/latex] dahinter müsste meines Wissen formal für eine infinitessimale Änderung in x stehen.

HTH und viele Grüße,
Robert

[Rafael]

Hallo ihr drei,
ich bin mit euren Tipps in den letzten vier Stunden weiter gekommen als im ganzen vergangenen Semester! Danke vielmals!
Liebe Grüße, Rafael

[ottogal]

Hallo Rafael,

vielleicht hilft dir dieses (einigermaßen?) anschauliche Beispiel:
http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/differential.pdf

Viel Erfolg!
ottogal

[JürgenB]

Hallo Rafael,

wenn du eine Funktion hast, die von zwei Variablen abhängt:

[latex]f(x,y)[/latex]

dann kann sich ihr Wert ändern, weil sich x ändert:

[latex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} , d x [/latex],

oder weil sich y ändert:

[latex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} , d y [/latex].

Das sind die partiellen Änderungen; daher partielle Ableitung nach der jeweiligen Variablen mal Größe der Änderung. Die totale Änderung ist dann die Summe aus den partiellen.

Ein Beispiel: Sei [latex]f[/latex] der Benzinpreis, [latex]x[/latex] der Ort und [latex]y[/latex] die Zeit. Dann ändert sich der Benzinpreis, weil Benzin heute teurer ist als gestern und weil es in der Stadt teurer ist, als auf dem Land.

Gruß, Jürgen