Beweis |x|/(x^2+1)<= 1/2

[Christian Seiler]

Hallo,

irgendwie schaff ich es gerade gar nicht, so beweisen, dass |x|/(x^2+1) <= 1/2 ist.
(x enstammt den reellen Zahlen)

Bin da voll auf dem Holzweg, wäre nett wenn mich jemand retten könnte ^^

Nunja, die Ungleichung ist symmetrisch bezüglich negativen und positiven x, daher brauchen wir nur [latex]x \le 0[/latex] betrachten, da können wird die Betragsstriche weglassen:

[latex]\frac{x}{x^2 + 1} \le \frac{1}{2}[/latex]

Nun kannst Du durch Äquivalenzumformungen (wichtig: die Umformungen müssen rückgängig gemacht werden können, damit die Schlussrichtung stimmt!)  die Ungleichung umforen. Da [latex]x^2 + 1[/latex] immer positiv ist, kann man damit einfach multiplizieren, ohne, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht:

[latex]2x \le x^2 + 1[/latex]

Und nun auf eine Seite bringen:

[latex]x^2 - 2x + 1 \ge 0[/latex]

Nun sieht man, dass dies eine binomische Formel ist (die zweite):

[latex](x - 1)^2 \ge 0[/latex]

Nun steht auf der linken Seite das Quadrat einer reellen Zahl - und das Quadrat einer reellen Zahl ist *IMMER* größer gleich 0 - d.h. die Ungleichung ist damit auf eine korrekte Aussage durch Äquivalenzumformungen zurückgeführt, womit die Ungleichung bewiesen ist.

Viele Grüße,
Christian