nicht angemeldet
echo $begrüßung;
Du hast natürlich durch eine anschliessende Debugausgabe kontrolliert, dass sich der Inhalt von $cookie auch wirklich geändert hat vor diesem erneuten Setzen des Cookies?
Auch noch gut wäre es, mit einer HTTP-Verkehrskontrolle à la livehttpheaders-Extension für den Firefox zu kontrollieren, ob der Keks auch den Weg zum Client genommen hat.
echo "$verabschiedung $name";