nicht angemeldet
echo $begrüßung;
echo '<input name="Kinderalter[]" type="text" size="2">
Warum hast du da [] angehängt? Dies bewirkt, dass PHP sowas wie $var[] = wert; macht. Das heißt, es legt $var als Array an, falls es noch nicht da war, und fügt ein Element an.
Entweder es steht im ausgewerteten Textfeld $Array oder 1.
Ja, die Umwandlung eines Arrays in einen String, welcher bei echo benötigt wird, ergibt 'Array'.
$Alter = (int)$_POST["Kinderalter"];
Ein Array in einen Integer umwandeln ist auch nicht grade sinnvoll.
Wenn zu Zweifel am Variableninhalt hast oder solche Effekte bemerkst, lass dir deine Variable mit var_dump() anzeigen. (Auch um Ergebnisse von Ausdrücken anzeigen zu lassen ist das hilfreich.)
echo "$verabschiedung $name";