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Durchmesser berechnen
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Gunnar Bittersmann
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Durchmesser berechnen
Hallo,
zu dieser Figur
soll der Durchmesser des Kreises, in Abhaengigkeit von "a" berechnet werden.
Die Winkel betragen:
alpha = 50°
beta = 55°
gamma = 20°
Im Netz habe ich zwar eine Seite gefunden, auf der der Inkreis eines Drachenviereck benannt wird, jedoch konnte der Autor dazu auch nur keine Formel referenzieren.
Vielleicht hat ja hier jemand eine zuendende Idee ...
Gruss und Dank
Norbert
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Hallo!
Die Winkel betragen:
alpha = 50°
beta = 55°
gamma = 20°Sind noch andere Werte bekannt? Wenn, fällt mir der Sinus oder Cosinus-Satz ein, ist lange her. Mit denen könnte man l2 bzw. l3 berechnen. Durchmesser ist l2*2 bzw. l3*3.
André Laugks
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Die Frau geht, die Hilti bleibt! -
Tach.
Ich bin die Sache folgendermaßen angegangen:
1. Die Seite R in Abhängigkeit von a berechnen.
Der spitze Innenwinkel am Mittelpunkt des Neunecks (also zwischen zwei benachbarten Seiten R) ist [latex]\delta = 40,°[/latex]
Aus dem Kosinussatz [latex]a^2=R^2+R^2-2RR\cos\delta[/latex] ergibt sich:
[latex]
R = \sqrt{\frac{a^2}{2-2\cos\delta}}
[/latex]2. Die Seite [latex]I_1[/latex] berechnen.
[latex]\alpha+\beta[/latex] sowie [latex]\delta[/latex] sind bekannt und somit auch der dritte Winkel in dem Dreieck, das folgende Seiten hat: [latex]I_1[/latex], R, die Strecke zwischen M und dem Mittelpunkt des Neunecks. Dieser dritte Winkel heiße [latex]\kappa[/latex]. Außerdem sei [latex]\epsilon=\alpha+\beta[/latex].
Aus dem Sinussatz [latex]\frac{\sin\epsilon}{\sin\delta} = \frac{R}{I_1}[/latex] ergibt sich:
[latex]
I_1 = \frac{R\sin\delta}{\sin\epsilon}
[/latex]3. Die Höhe [latex]I_3[/latex] berechnen, die den Radius des Kreises darstellt.
[latex]I_3=I_1\sin\kappa[/latex]
Damit hast du alle notwendigen Größen beisammen, setzt sie in die obigen Formeln ein und berechnest den Durchmesser des Kreises aus [latex]d=2I_3[/latex]
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Once is a mistake, twice is jazz.-
Hello out there!
- Die Seite R in Abhängigkeit von a berechnen.
Der spitze Innenwinkel am Mittelpunkt des Neunecks (also zwischen zwei benachbarten Seiten R) ist [latex]\delta = 40,°[/latex]
Aus dem Kosinussatz […]
Na, das schaffen wir auch einfacher:
[latex]\sin \frac{\delta}{2} = \frac{a}{2R}[/latex]
- Die Seite [latex]I_1[/latex] berechnen.
Das ist unnötig.
See ya up the road,
Gunnar--
„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe)-
- Die Seite [latex]I_1[/latex] berechnen.
Das ist unnötig.
Weil...? Er braucht sie für seinen dritten Schritt [latex]I_3=I_1\sin\kappa[/latex], dann kann sie schlecht unnötig sein.
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Hello out there!
- Die Seite [latex]I_1[/latex] berechnen.
Das ist unnötig.
Weil...?
Mir erschien Blaubarts Rechenweg zu umständlich. Die Berechnung von R war es auch. Da ich – wie beschrieben – von R auf anderem Wege zum Kreiradius (nennen wir ihn r) gekommen bin, brauchte ich l1 nicht.
Er braucht sie für seinen dritten Schritt [latex]I_3=I_1\sin\kappa[/latex]
Der schon der zweite sein kann, da sich l1 – wie gesagt – direkt aus a und den „Winkelsen“ berechnen lässt.
Es geht auch ohne l1: Man zäumt den Gaul von der anderen Seite auf und geht über MP. (P hatte ich an anderer Stelle eingeführt.)
See ya up the road,
Gunnar--
„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe) - Die Seite [latex]I_1[/latex] berechnen.
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Tach.
Aus dem Kosinussatz […]
Na, das schaffen wir auch einfacher:
[latex]\sin \frac{\delta}{2} = \frac{a}{2R}[/latex]
Stimmt, das ist 'ne gute Idee. Raum für Vereinfachungen gibt es bei solchen Rechnungen auf den zweiten und dritten Blick fast immer – was hier auch wirklich angesagt war, da am Schluß schon ein ziemlicher Apparat stand ... Und wie du schon sagtest: Beim Blick ins *richtige* der Dreiecke wird's dann ganz einfach. :)
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Once is a mistake, twice is jazz.
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Hello out there!
Die Winkel betragen:
alpha = 50°
beta = 55°
gamma = 20°Dass die Winkel schon gegeben sind, macht die Sache sehr einfach. (Ich hätte sie Euch nicht vorgegeben.)
Die Beziehung zwischen a und R (vom Mittelpunkt zum Eckpunkt der großen Figur) sollte klar sein.
In dem Dreieck, wo du gamma findest, kannst du die Länge von M bis zum Eckpunkt der großen Figur berechnen; im Dreieck, wo du alpha findest, die Länge von M bis zum Mittelpunkt der großen Figur.
So erhältst du eine Gleichung mit dem Radius des Kreises als einziger Unbekannten.
See ya up the road,
Gunnar--
„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe)-
In dem Dreieck, wo du gamma findest, kannst du die Länge von M bis zum Eckpunkt der großen Figur berechnen; im Dreieck, wo du alpha findest, die Länge von M bis zum Mittelpunkt der großen Figur.
Kannst Du das etwas genauer erläutern? In beiden Dreiecken sind nur die Winkel bekannt, aber keine einzige Strecke.
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doch: a
aus a + winkelse ergeben sich die anderen Strecken
Frank
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Hello out there!
aus a + winkelse ergeben sich die anderen Strecken
Argl, ja natürlich. Ist ja noch einfacher als ich zuerst dachte.
Man muss nur gleich ins richtige Dreieck schauen, dann springt einen die Lösung ja schon an – ohne Umweg über R.
See ya up the road,
Gunnar--
„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe) -
In dem Dreieck, wo du gamma findest, kannst du die Länge von M bis zum Eckpunkt der großen Figur berechnen; im Dreieck, wo du alpha findest, die Länge von M bis zum Mittelpunkt der großen Figur.
Kannst Du das etwas genauer erläutern? In beiden Dreiecken sind nur die Winkel bekannt, aber keine einzige Strecke.
doch: a
a gehört nicht zu dem Dreieck, das von γ aufgemacht wird (nur eine unbekannte Teilstrecke von a), und schon gar nicht zu jenem, das von α aufgemacht wird.
aus a + winkelse ergeben sich die anderen Strecken
Wer oder was ist ein "winkelse"?
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Hello out there!
a gehört nicht zu dem Dreieck, das von γ aufgemacht wird (nur eine unbekannte Teilstrecke von a), und schon gar nicht zu jenem, das von α aufgemacht wird.
Es sollte anhand der Vorgaben nicht allzu schwerfallen, benötigte Winkelgrößen zu berechnen.
In der Tat muss man sich doch zwei Dreiecke ansehen; aus einem erhält man eine benötigte Seitenlänge für das andere.
Wer oder was ist ein "winkelse"?
Eine. Eine Else, die winkt.
See ya up the road,
GunnarPS: Wer oder was sind „Hobbitse“?
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„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe) -
Hi,
ich hab von Mathematik keine Ahnung (Ich weiss aber grad noch was ein Kathether ist), ich habe aus der Existenz eines statischen Wertes von a auf dessen Bedeutung geschlossen. Wenn a nicht als Strecke zu deinen Dreiecken gehört, gehört es halt als Strecke zu irgendeinem oder mehreren anderen Dreiecken aus welchen sich dann weitere Werte ergeben.
Ciao, Frank
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Hello out there!
In dem Dreieck, wo du gamma findest, kannst du die Länge von M bis zum Eckpunkt der großen Figur berechnen; im Dreieck, wo du alpha findest, die Länge von M bis zum Mittelpunkt der großen Figur.
Kannst Du das etwas genauer erläutern? In beiden Dreiecken sind nur die Winkel bekannt, aber keine einzige Strecke.
Stimmt. ;-)
Nennen wir mal den Mittelpunkt des Neunecks O, den Eckpunkt in der Zeichnung oben P.
In dem einen Dreieck ergibt sich eine Beziehung zwischen l2 und MP, in dem anderen eine zwischen l3 und OM. Die Beziehung zwischen l2 und l3 sollte klar sein. ;-) Die Summe OM + MP = OP ist bekannt.
Vier Gleichungen für vier Unbekannte – passt schon.
See ya up the road,
Gunnar--
„Wer Gründe anhört, kommt in Gefahr nachzugeben.“ (Goethe)
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