echo $begrüßung;
Es wird abgefragt wieviele Kinder der jeweilige hat und je nach eingabe soll er auch für Kind 1 und Kind2 das Alter angeben.
Dieses Formular soll am Ende abgeschickt werden bzw. weiter verarbeitet werden, daher glaub ich das sich Javascript nicht ganz so eignet.
Da glaubst du nicht richtig. Ohne Roundtrip und ohne Javascript kommst du nicht an neue Eingabeelemente heran. Wenn deine Bedenken sich um die Auswertbarkeit unter PHP drehen, so lassen sie sich zerstreuen. Wenn PHP auf Eingabeelemente mit gleichem Namen aber angefügtem [] stößt, legt es ein Array an, das die einzelnen Werte enthält. Du könntest auch die Namen in Javascript dynamisch bilden, z.B. durch Anhängen eines _x, wobei x eine Zahl ist, und dann unter PHP mit foreach durch das $_POST- bzw. $_GET-Array laufen und schauen, welche Elemente es alles gibt, aber die Methode mit dem [] ist die einfachere.
echo "$verabschiedung $name";