nicht angemeldet
echo $begrüßung;
Bei einer erneuten Übergabe ignoriert das Skript allerdings die zuvor ins $_SESSION-Array eingetragenen Werte bzw. ich vermute die Session wird komplett überschrieben.
PHP ignoriert nicht und überschreibt von sich aus auch nichts. Überprüfe den Inhalt der beteiligten Variablen (wozu auch das $_SESSION-Array zählt) mittels Kontrollausgaben, um so herauszufinden, welche Stelle im Programm welche Veränderung an den Variablen bewirkt. echo, print, print_r() und var_dump() sind dafür geeignete PHP-Konstrukte und Funktionen. Bei der Ausgabe von komplexen Werten (z.B. Arrays) empfiehlt sich vorher die Ausgabe eines <pre>.
echo "$verabschiedung $name";