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Also meines Erachtens sollte es ein
SELECT t1.B_ID, t2.Benutzer FROM t1 INNER JOIN t2 ON t1.B_ID = t2.ID WHERE t1.erledigt = 0
tun.
Achte aber darauf, ob "erledigt" ein Textfeld oder ein Zahlenfeld ist.
Je nachdem muss die Null dann in Hochkommas oder nicht.
Schick die Abfrage auch mal direkt an die Datenbank (ich schätze es ist eine MySQL-DB?) mit phpMyAdmin, MySQL-CC, Navicat oder einem sonstigen DB-Frontend, um zu sehen, ob da Zeilen zurückgeliefert werden.
WEnn da etwas zurückkommt, ist der Fehler in deinem PHP-Skript zu suchen.