Länge von Dualzahlen vs. Länge von Binärzahlen

[romy]

Hallöchen,

ich bin auf eine interessante Aufgabenstellunge gestoßen und irgendwie würde ich es gern lösen, kome aber nicht dahinter.
Aufgabe:
Wieviel länger sind Dualzahlen im Schnitt gegenüber Dezimalzahlen? Schätzen Sie erstmal. Dann versuchen Sie eine Formel aufzustellen!

Prinzipiell weiß ich die Länge von Dezimalzahlen, wenn ich sie in der Schreibweise 10^n beschreibe. n+1 ist dann die Länge. Sprich aus 123 wird 1,23 * 10^2. Bei Dualzahlen müsste ich nur die größte Potenz von 2, die noch in die Dezimalzahl reinpasst ermitteln, dann wäre die Pozenz = Länge. Aber wie kriege ich das in eine Formel?

Ich denke, dass Dualzahl nicht im Schnitt länger sind als Dezimalzahlen, sondern die Abweichung steigt.

Hat jemand dazu einen Ansatz!? Vielen Dank!

Liebe Grüße
romy

[Cheatah]

Hi,

Prinzipiell weiß ich die Länge von Dezimalzahlen, wenn ich sie in der Schreibweise 10^n beschreibe. n+1 ist dann die Länge. Sprich aus 123 wird 1,23 * 10^2. Bei Dualzahlen müsste ich nur die größte Potenz von 2, die noch in die Dezimalzahl reinpasst ermitteln, dann wäre die Pozenz = Länge. Aber wie kriege ich das in eine Formel?

indem Du Dir überlegst, wie die Gegenfunktion zur Exponentialfunktion lautet.

Cheatah

[romy]

Hi Cheatah,

Prinzipiell weiß ich die Länge von Dezimalzahlen, wenn ich sie in der Schreibweise 10^n beschreibe. n+1 ist dann die Länge. Sprich aus 123 wird 1,23 * 10^2. Bei Dualzahlen müsste ich nur die größte Potenz von 2, die noch in die Dezimalzahl reinpasst ermitteln, dann wäre die Pozenz = Länge. Aber wie kriege ich das in eine Formel?
indem Du Dir überlegst, wie die Gegenfunktion zur Exponentialfunktion lautet.

Ich versuche nicht darüber nachzudenken, warum mir das selbst nicht einfällt ;)
Wenn ich nun also die Dezimalzahl a gegeben habe, kann ich die Längendifferenz ihrer Entsprechung in Dual wie folgt berechnen:

Längendifferenz = log a / log 2 - log a + 1

Kann man sowas beweisen? Ich habe eher probiert als hergeleitet. Für die duale Zahl müsste es analog gelten, muss ich aber noch rechnen.

Danke!!!

ciao
romy

[romy]

Hallo,

Längendifferenz = log a / log 2 - log a + 1

Ich habe die Rundung vergessen und kann sie auch nicht nicht darstellen.
Es muss heißen log a / log 2 - log a wobei beide Terme abgerundet werden müssen (oder alternativ aufgerundet) Zur Darstellung kann man da wohl die Gaussche Klammer verwenden, das kannte ich noch nicht, aber mir wäre auch nichts weiter eingefallen.

Ob man das irgendwie beweisen kann, würde mich immer noch interessieren.

ciao
romy

[Daniel Thoma]

Hallo romy,

Nuja, erstmal kann man eigentlich sagen, dass es offensichtlich ist.
Die größe der darstellbaren Zahlen wächst nunmal exponentiell mit der Anzahl der Ziffern zur Basis des Zahlensystems. Umgekehrt ist die Länge einer Zahl eben der Logarithmus zur entsprechenden Basis.

Beweisen kann man das wohl so:
Die größte darstellbare Zahl mit n Ziffern bei Basis b ist b^{n} - 1
Beweis:
Wert der maximalen Zahl mit n Ziffern: sum_{i = 1}^{n} (b - 1) b^(i - 1)
= sum_{i = 1}^{n} (b^i - b^{i - 1}) = b^n - 1 + sum_{i = 1}^{n - 1} (b^i - b^{i}) = b^n - 1
Eine Zahl x mit b^{n - 1} <= x < b^{n} lässt sich folglich mit n Ziffern darstellen.
Es gilt also:
n - 1 <= log_b(x)  < n und damit log_b(x) = floor(log_b(x)) + 1

Nun muss man nur noch die Differenz bilden für Basis 10 und 2 und erhält Deine Formel.

Grüße

Daniel

[suit]

Wieviel länger sind Dualzahlen im Schnitt gegenüber Dezimalzahlen? Schätzen Sie erstmal.

geschätzt, pauschal ist eine binärzahl etwa 3,325 mal so lang wie eine dezimalzahl (basis 2 zu 10 =  2^3,325 ~ 10)

bei 2^16, 2^24, 2^32 und 2^48 stimmt das noch etwa - weiter nach oben hab ichs nicht ausprobiert

Ich denke, dass Dualzahl nicht im Schnitt länger sind als Dezimalzahlen, sondern die Abweichung steigt.

wenn der zahlenbereich nicht beschänkt ist, soll dir bitte der aufgabensteller erklären, wie du den durchschnitt zwei unendlich großer mengen ausrechnest ;)

btw: auf die lösung bin ich gespannt

[Cheatah]

Hi,

wenn der zahlenbereich nicht beschänkt ist, soll dir bitte der aufgabensteller erklären, wie du den durchschnitt zwei unendlich großer mengen ausrechnest ;)

och, da gibt es schon Mittel und Wege in der Mathematik zu. Die kreativeren beginnen mit den Worten:

Sei Epsilon kleiner null ...

Oder:

Sei Epsilon _größer_ null so klein gewählt, dass Epsilon-Halbe schon negativ ist ...

Cheatah ;-)

[suit]

Sei Epsilon kleiner null ...

ich wusste schon immer, dass dihydrogenmonoxid schädlich fürs gehirn ist ...

[Gunnar Bittersmann]

@@suit:

Ich denke, dass Dualzahl nicht im Schnitt länger sind als Dezimalzahlen, sondern die Abweichung steigt.

Ja, die Differenz der Stellenanzahlen wird immer größer, aber das Verhältnis der Stellenanzahlen nähert sich einem Grenzwert …

wenn der zahlenbereich nicht beschänkt ist,

… dann ist lässt sich das Verhältnis berechnen:

Stellenanzahl von n im Dezimalsystem: [latex]\lfloor \lg n \rfloor + 1[/latex]
Stellenanzahl von n im Dualsystem:    [latex]\lfloor \operatorname{ld} , n \rfloor + 1[/latex]

Verhältnis: [latex]\lim_{n \to \infty} \frac{\lfloor \operatorname{ld} , n \rfloor + 1}{\lfloor \lg n \rfloor + 1} = \frac{\operatorname{ld} , n}{\lg n} = \frac{1}{\lg 2} \approx 3.322[/latex]

Live long and prosper,
Gunnar

[suit]

Verhältnis: [latex]\lim_{n \to \infty} \frac{\lfloor \operatorname{ld} , n \rfloor + 1}{\lfloor \lg n \rfloor + 1} = \frac{\operatorname{ld} , n}{\lg n} = \frac{1}{\lg 2} \approx 3.322[/latex]

da lag ich mit meiner schätzung ja garnicht so falsch
dh kleinere_zahlenbasis ^ längenverhältnis (größer 1) = großere_zahlenbasis trifft zu?

[Gunnar Bittersmann]

@@suit:

Verhältnis: [latex]\lim_{n \to \infty} \frac{\lfloor \operatorname{ld} , n \rfloor + 1}{\lfloor \lg n \rfloor + 1} = \frac{\operatorname{ld} , n}{\lg n} = \frac{1}{\lg 2} \approx 3.322[/latex]

da lag ich mit meiner schätzung ja garnicht so falsch
dh kleinere_zahlenbasis ^ längenverhältnis (größer 1) = großere_zahlenbasis trifft zu?

Na da rechnen wir doch mal nach, ob [latex]2^\frac{1}{\lg 2} = 10[/latex] ist.

Das tun wir über den Logarithmus auf beiden Seiten:
[latex]\lg 2^\frac{1}{\lg 2} = \frac{1}{\lg 2} \cdot \lg 2 = 1 = \lg 10[/latex]

Stimmt also.

Live long and prosper,
Gunnar

[suit]

ich muss gestehen, dass mir das alles etwas zu hoch ist ;)

Stimmt also.

das beruhigt mich aber: mich hat zumindest mein gesunder menschenverstand nicht getäuscht :)

[Gunnar Bittersmann]

@@suit:

ich muss gestehen, dass mir das alles etwas zu hoch ist ;)

??

Zum einen war da die Eigenschaft der Logarithmusfunktion, eineindeutig zu sein. Es gilt also für a, b, c > 0: [latex]a = b \Leftrightarrow \log_c a = \log_c b[/latex]

Zum anderen war da [latex]\log_c a^b = b \cdot \log_c a[/latex] im Spiel. Ansonsten keine Magie.

Live long and prosper,
Gunnar

[Gunnar Bittersmann]

@@romy:

Aufgabe:
Wieviel länger sind Dualzahlen im Schnitt gegenüber Dezimalzahlen?

Ist das wirklich die Aufgabe? Oder wie du im Titel schriebst: Wieviel länger sind Dualzahlen im Schnitt gegenüber Binärzahlen?

Das wäre einfach zu beantworten. ;-)

Live long and prosper,
Gunnar

[romy]

Hi Gunnar,

Aufgabe:
Wieviel länger sind Dualzahlen im Schnitt gegenüber Dezimalzahlen?
Ist das wirklich die Aufgabe? Oder wie du im Titel schriebst: Wieviel länger sind Dualzahlen im Schnitt gegenüber Binärzahlen?

<Maulwurf> Manno! </Maulwurf>

ciao
romy