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Hallo Blaubart,
Ein auf den ersten Blick ziemlich unscheinbares Problem. Vielleicht hab ich bloß 'n Brett vorm Kopp:
Gegeben sind die Konstanten x, y und die Gleichung y = z·e^(zx). Läßt sich daraus eine direkte Lösung für das gesuchte z angeben?
Meiner Meinung nach nein. Du musst eine Fallunterscheidung vornehmen.
Bisher lande ich immer bei Termen der Form ln(z) + zx oder wenig hilfreichen Reihenentwicklungen ...
Vorsicht. Du kannst nicht einfach logarithmieren.
Ich gehe davon aus, dass die Wertemenge für x, y und z die reellen Zahlen sind.
a) y > 0
=> z > 0, da e^(zx) > 0 für alle x und z
b) y = 0
=> triviale Lösung z = 0 (für beliebige x)
c) y < 0
=> z < 0, da e^(xz) > 0 für alle x und z
d) x = 0
=> triviale Lösung z = y, da e^0 = 1 für alle z
Nun müssen noch a) und c) mit den Fällen x > 0 und x < 0 kombiniert werden
e) y > 0 und x > 0
aus a) folgt z > 0
z·e^(zx) ist streng monoton wachsend für z > 0,
hat den Wert 0 für z = 0 und der Grenzwert für z gegen Unendlich ist unendlich
=> es gibt genau eine Lösung
f) y > 0 und x < 0
aus a) folgt z > 0
z·e^(zx) ist größer 0 für z > 0
hat den Wert 0 für z = 0 und der Grenzwert für z = 0 ist 0
(Nachweis als Übung=
Zunächst ist die Funktion streng monoton steigend, hat ein Maximum
und ist dann streng monoton fallend.
Berechne das Maximum:
f'(z) = z·x·e^(xz) + e^(xz) = e^(zx)·(zx + 1)
Da gilt: x < 0 und z > 0 ergibt sich für z = -1/x für die Ableitung der
Wert 0, d.h. dort hat die Funktion ihr Maximum.
f(-1/x) = -1/x · e^(-1) = -1/(ex)
Ist nun y > -1/(ex), so gibt es keine Lösung
Ist y = -1/(ex), so gibt es genau eine Lösung, nämlich z = -1/x
Ist y < -1/(ex), so gibt es zwei Lösungen.
g) y < 0 und x > 0
aus a) folgt z < 0
aus f) folgt f'(z) = e^(zx)·(zx + 1)
Der erste Faktor ist stets positiv, der zweite ist für z > -1/x
positiv, für z = -1/x wird er 0, für z < -1/x wird er negativ
f(z) hat als Grenzwert für z gegen -Unendlich den Wert 0, erreicht in
für z = -1/x ein Minimum und nimmt für z = 0 den Wert 0 an.
Die Betrachtungen für die Lösungsmenge fallen analog zu f) aus.
h) y < 0 und x < 0
aus a) folgt z < 0
aus f) folgt f'(z) = e^(zx)·(zx+1) und damit > 0 für alle x < 0 und z < 0,
d.h. die Funktion ist im Wertebereich streng monoton wachsend, hat als
Grenzwert für z gegen -Unendlich von -Unendlich und nimmt für z = 0 den
Wert 0 an, somit gibt es analog zu e) genau eine Lösung.
Mir ist klar, dass ich einen schwierigen Teil noch nicht angegengen bin, die
Bestimmung der Lösungen in den Fällen mit eindeutiger, aber nicht trivialer Lösung, d.h. e) und h) sowie die Fälle mit zwei Lösungen (Unterfälle von f) und g).
Meine Ausführungen sollten Dir jedoch gezeigt haben, dass es im Allgemeinen _keine_ direkte Lösung für z gibt, sondern eine Fallunterscheidung erforderlich ist.
Freundliche Grüße
Vinzenz
seth