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Gleichung lösen
sethTach.
Ein auf den ersten Blick ziemlich unscheinbares Problem. Vielleicht hab ich bloß 'n Brett vorm Kopp:
Gegeben sind die Konstanten x, y und die Gleichung y = z·e^(zx). Läßt sich daraus eine direkte Lösung für das gesuchte z angeben? Bisher lande ich immer bei Termen der Form ln(z) + zx oder wenig hilfreichen Reihenentwicklungen ...
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Once is a mistake, twice is Jazz.
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Falsches Forum, oder? Versuchs doch mal bei uni-protokolle.de/foren/ oder matheraum.de
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gudn tach!
Falsches Forum, oder?
nein.
Versuchs doch mal bei uni-protokolle.de/foren/ oder matheraum.de
aber ich gebe zu, dass jene foren noch besser (weil spezialisierter) fuer sowas geeignet sind.
prost
seth
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Hallo Blaubart,
Ein auf den ersten Blick ziemlich unscheinbares Problem. Vielleicht hab ich bloß 'n Brett vorm Kopp:
Gegeben sind die Konstanten x, y und die Gleichung y = z·e^(zx). Läßt sich daraus eine direkte Lösung für das gesuchte z angeben?
Meiner Meinung nach nein. Du musst eine Fallunterscheidung vornehmen.
Bisher lande ich immer bei Termen der Form ln(z) + zx oder wenig hilfreichen Reihenentwicklungen ...
Vorsicht. Du kannst nicht einfach logarithmieren.
Ich gehe davon aus, dass die Wertemenge für x, y und z die reellen Zahlen sind.a) y > 0
=> z > 0, da e^(zx) > 0 für alle x und zb) y = 0
=> triviale Lösung z = 0 (für beliebige x)c) y < 0
=> z < 0, da e^(xz) > 0 für alle x und zd) x = 0
=> triviale Lösung z = y, da e^0 = 1 für alle zNun müssen noch a) und c) mit den Fällen x > 0 und x < 0 kombiniert werden
e) y > 0 und x > 0
aus a) folgt z > 0
z·e^(zx) ist streng monoton wachsend für z > 0,
hat den Wert 0 für z = 0 und der Grenzwert für z gegen Unendlich ist unendlich
=> es gibt genau eine Lösungf) y > 0 und x < 0
aus a) folgt z > 0
z·e^(zx) ist größer 0 für z > 0
hat den Wert 0 für z = 0 und der Grenzwert für z = 0 ist 0
(Nachweis als Übung=
Zunächst ist die Funktion streng monoton steigend, hat ein Maximum
und ist dann streng monoton fallend.Berechne das Maximum:
f'(z) = z·x·e^(xz) + e^(xz) = e^(zx)·(zx + 1)
Da gilt: x < 0 und z > 0 ergibt sich für z = -1/x für die Ableitung der
Wert 0, d.h. dort hat die Funktion ihr Maximum.f(-1/x) = -1/x · e^(-1) = -1/(ex)
Ist nun y > -1/(ex), so gibt es keine Lösung
Ist y = -1/(ex), so gibt es genau eine Lösung, nämlich z = -1/x
Ist y < -1/(ex), so gibt es zwei Lösungen.g) y < 0 und x > 0
aus a) folgt z < 0
aus f) folgt f'(z) = e^(zx)·(zx + 1)
Der erste Faktor ist stets positiv, der zweite ist für z > -1/x
positiv, für z = -1/x wird er 0, für z < -1/x wird er negativ
f(z) hat als Grenzwert für z gegen -Unendlich den Wert 0, erreicht in
für z = -1/x ein Minimum und nimmt für z = 0 den Wert 0 an.
Die Betrachtungen für die Lösungsmenge fallen analog zu f) aus.h) y < 0 und x < 0
aus a) folgt z < 0
aus f) folgt f'(z) = e^(zx)·(zx+1) und damit > 0 für alle x < 0 und z < 0,
d.h. die Funktion ist im Wertebereich streng monoton wachsend, hat als
Grenzwert für z gegen -Unendlich von -Unendlich und nimmt für z = 0 den
Wert 0 an, somit gibt es analog zu e) genau eine Lösung.Mir ist klar, dass ich einen schwierigen Teil noch nicht angegengen bin, die
Bestimmung der Lösungen in den Fällen mit eindeutiger, aber nicht trivialer Lösung, d.h. e) und h) sowie die Fälle mit zwei Lösungen (Unterfälle von f) und g).Meine Ausführungen sollten Dir jedoch gezeigt haben, dass es im Allgemeinen _keine_ direkte Lösung für z gibt, sondern eine Fallunterscheidung erforderlich ist.
Freundliche Grüße
Vinzenz
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Tach.
Vorsicht. Du kannst nicht einfach logarithmieren.
Das stimmt. Ich hätte gestern wohl lieber ein paar einschränkende Bedinungen für x und y ergänzen sollen. Entschuldige bitte. Ich habe einfach nicht erwartet, daß jemand als Antwort eine umfangreiche Kurvendiskussion betreibt. ;) Ich habe eher auf allgemeine Hinweise spekuliert, ob (und wenn ja, wie) sich z auch ohne numerische Näherungsverfahren bestimmen läßt. Trotzdem: Vielen Dank für diese ausführliche Antwort!
Mir ist klar, dass ich einen schwierigen Teil noch nicht angegengen bin, die Bestimmung der Lösungen in den Fällen mit eindeutiger, aber nicht trivialer Lösung, d.h. e) und h) sowie die Fälle mit zwei Lösungen (Unterfälle von f) und g).
Genau das war die eigentliche Frage.
Nehmen wir mal die Konstellation y > 0 und x < 0. Hast Du einen Vorschlag, wie man jeweils die beiden z bestimmen kann, welche die Gleichung für den Fall y < -1/(ex) lösen?
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gudn tach!
Gegeben sind die Konstanten x, y und die Gleichung y = z·e^(zx). Läßt sich daraus eine direkte Lösung für das gesuchte z angeben?
ansichtssache.
ich hab mal maple drauflosgelassen und bin dadurch auf http://de.wikipedia.org/wiki/Lambert-W-Funktion gestossen. vielleicht hilft dir das weiter; siehe auch die dort verlinkten papers.prost
seth-
Hallo seth,
Gegeben sind die Konstanten x, y und die Gleichung y = z·e^(zx). Läßt sich daraus eine direkte Lösung für das gesuchte z angeben?
ansichtssache.
oder Voraussetzungssache.
ich hab mal maple drauflosgelassen und bin dadurch auf http://de.wikipedia.org/wiki/Lambert-W-Funktion gestossen. vielleicht hilft dir das weiter; siehe auch die dort verlinkten papers.
dort ist z eine komplexe Zahl im Gegensatz zu meinen Betrachtungen, die sich auf die reellen Zahlen beschränkten. Ohne die Voraussetzungen zu kennen, ist es halt schwer Lösungen oder Lösungswege anzugeben.
Auf jeden Fall ist es eine interessante Frage.
Freundliche Grüße
Vinzenz
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Tach.
Gegeben sind die Konstanten x, y und die Gleichung y = z·e^(zx). Läßt sich daraus eine direkte Lösung für das gesuchte z angeben?
ansichtssache.
ich hab mal maple drauflosgelassen und bin dadurch auf http://de.wikipedia.org/wiki/Lambert-W-Funktion gestossen. vielleicht hilft dir das weiter; siehe auch die dort verlinkten papers.Danke für diesen Tip. Sieht so aus, als gäbe es keine rein analytische Lösung dieses Problems. Damit erübrigt sich dann vermutlich auch die Frage an Vinzenz. Ich werd trotzdem mal in den angegebenen Quellen weitergraben.
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Once is a mistake, twice is Jazz.
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