Er ist ja schon so lange her, der Matheunterricht ...

[André]

Moin zusammen,

ich habe ein kleines Problem, welches ich vor 20 Jahren wohl noch selbst lösen konnte. Leider sind meine Erinnerungen an den Matheunterricht doch ziemlich verblasst.

Also, folgende Aufgabenstellung:

Gegeben sind zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a1, b1 und c1 sowie a2, b2 und c2 (wobei c immer die Hypotenuse ist). Deren Länge kenne ich, dazu nur noch den Winkel γ, der jeweils 90° beträgt.

Die beiden Dreiecke liegen übereinander, wobei sie immer denselben Eckpunkt B haben. Die Kathete a2 liegt immer auf Kathete a1 und ist kürzer als diese.

Weia, das ist ja schon schwer zu erklären, deshalb habe ich hier mal ein Bild gemacht: http://www.w44.de/winkel.gif.

Dort ist gut zu sehen, daß es mehrere Fälle gibt, nämlich daß Dreieck2 über das Dreieck1 hinausragt, drinnen liegt, oder nach unten ragt. Es gibt noch drei Fälle, nämlich mit nach unten ragendem Dreieck1.

Gesucht ist nun eine Formel, mit welcher ich die Länge der senkrechten von Punkt A des zweiten Dreiecks auf die Hypotenuse c1 ermitteln kann (in der Grafik die blaue Linie).

Ich hoffe, mir kann irgendjemand weiterhelfen.

Ach ja, die Formel sollte für die Katheten b1 und b2 auch mit negativen Werten umgehen können. Immer dann, wenn eines der beiden Dreicke nach unten ragt, ist dabei der jeweilige Wert von b negativ.

Gruß, André

[Gunnar Bittersmann]

@@André:

http://www.w44.de/winkel.gif

Verweise einbinden.

Ich hoffe, mir kann irgendjemand weiterhelfen.

Ein geeignetes Koordinatensystem hilft. Ich würde B als Ursprung wählen, a1, a2 liegen auf der x-Achse, sagen wir mal in positiver Richtung. Die y-Achse steht senkrecht darauf, sagen wir mal in Richtung A. Dann har A die Koordinaten (a2, b2).

Die Gerade g, auf der c1 liegt, geht durch Punkte (0, 0) und (a1, b1), wobei b1 auch negativ sein kann. Deren Gleichung ist also leicht zu ermitteln.

Dann suchst du den Abstand des Punktes A von der Geraden g. Google "Abstand Punkt Gerade" ... http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage472/ sieht doch ganz brauchbar aus.

Live long and prosper,
Gunnar

[André]

Moin Gunnar,

Dann suchst du den Abstand des Punktes A von der Geraden g. Google "Abstand Punkt Gerade" ... http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage472/ sieht doch ganz brauchbar aus.

wenn ich das, was auf der Seite steht auch nur annähernd verstehen würde ... tue ich leider nicht.

Mein gedanklicher Ansatz geht eher in eine andere Richtung.

1. ich ermittle den Winkel β der beiden Dreiecke (den am Punkt B). Das geht bestimmt irgendwie mit arccos oder arccsin .. wie genau weiß ich leider nicht.
2. die blaue Linie (Senkrechte von A auf c1) bildet wiederum ein rechtwinkliges Dreieck mit c2 und c1. Die Länge c2 habe ich ja, und den Winkel kann ich durch einfaches addieren bzw. subtrahieren aus β1 und β2 errechnen. Dann kommt wieder eine Kreisfunktion ... die ich wieder nicht genau kenne.

Zusammenfassend benötige ich zwei Formeln:

1. aus den Längen der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks den Winkel β errechnen
2. aus dem Winkel β und der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks die Länge der Kathete b berechnen

Mit den beiden Formeln sollte es gehen ... nach Adam Riese und Eva Zwerg. Oder doch nicht?

Gruß, André

[ritschmanhard]

Hi André!

Es sind also, wie von Gunnar vermutet, alle Seitenlängen (a1/2, b1/2, c1/2) bekannt?

Dann gilt:
cos(beta1) = a1/c1 => beta1 = arccos (a1/c1)
cos(beta2) = a2/c2 => beta2 = arccos (a2/c2)

beta3 (Winkel zwischen c1 und c2) = beta2 - beta1

und für gesuchte Länge (s) gilt: sin(beta3) = s/c2
also s = c2*sin (beta3)
Insgesamt also: s=c2*sin(arccos (a2/c2)-arccos (a1/c1))

Grüsse,
Richard

[André]

Nochmal Hallo Richard,

Dann gilt:
cos(beta1) = a1/c1 => beta1 = arccos (a1/c1)
cos(beta2) = a2/c2 => beta2 = arccos (a2/c2)

beta3 (Winkel zwischen c1 und c2) = beta2 - beta1

und für gesuchte Länge (s) gilt: sin(beta3) = s/c2
also s = c2*sin (beta3)
Insgesamt also: s=c2*sin(arccos (a2/c2)-arccos (a1/c1))

super, das sieht genau nach dem aus was ich gesucht habe. Damit werde ich gleich mal rumspielen.

Vielen Dank!

Gruß, André

[Andreas Pflug]

Insgesamt also: s=c2*sin(arccos (a2/c2)-arccos (a1/c1))

Das ganze lässt sich auch komplett ohne
trigonometrische Formeln schreiben:

Sei [latex]\beta=\beta_2-\beta_1[/latex] der Winkel des
Dreiecks mit der gesuchten Blauen Seite am Eckpunkt B.
Dann gilt für die gesuchte Länge x:

[latex]x = c_2\sin(\beta) = c_2\sin(\beta_2-\beta_1) = c_2\left(\sin(\beta_2)\cos(\beta_1)-\cos(\beta_2)\sin(beta_1)\right)[/latex]

Die einzelnen cos / sin-Ausdrücke kann man jetzt anhand
der schönen Grafik durch An-/Gegenkathete / Hypothenuse
ersetzen, so dass folgt

[latex]x=c_2\left(\frac{b_2}{c_2}\frac{a_1}{c_1}-\frac{a_2}{c_2}\frac{b_1}{c_1}\right)[/latex]

MfG

Andreas

[Gunnar Bittersmann]

@@Andreas Pflug:

Das ganze lässt sich auch komplett ohne
trigonometrische Formeln schreiben: […]

[latex]x = c_2\sin(\beta) = c_2\sin(\beta_2-\beta_1) = c_2\left(\sin(\beta_2)\cos(\beta_1)-\cos(\beta_2)\sin(\beta_1)\right)[/latex]

Für „ohne trigonometrische Formeln“ sind doch noch ganz schon viele trigonometrische Funktionen drin. ;-)

[latex]x=c_2\left(\frac{b_2}{c_2}\frac{a_1}{c_1}-\frac{a_2}{c_2}\frac{b_1}{c_1}\right)[/latex]

Das kannste noch alles auf einen Bruchstrich schreiben und durch c₂ kürzen. Und die Betragsstriche fehlen!

[latex]x= \frac {\left| b_2 a_1 - a_2 b_1 \right|}{c_1}[/latex]

Da hatte ich ja richtig gerechnet [https://forum.selfhtml.org/?t=164962&m=1075838]; nach Adam^WPythagoras ist ja [latex]c_1 = \sqrt {a_1^2 + b_1^2}[/latex]

Live long and prosper,
Gunnar

[Andreas Pflug]

@@Andreas Pflug:

Für „ohne trigonometrische Formeln“ sind doch noch ganz schon viele trigonometrische Funktionen drin. ;-)

ich meinte damit ja auch das Endergebnis...;-)

Das kannste noch alles auf einen Bruchstrich schreiben und durch c₂ kürzen. Und die Betragsstriche fehlen!

Ohne Betragstriche kann man immerhin noch die
Information herausholen, ob die blaue Linie
nach 'oben' oder 'unten' ragt, für die reine
Längenberechnung hast Du natürlich recht.

Da hatte ich ja richtig gerechnet [...]

schon klar, ich wollte nur noch einen
alternativen Weg aufzeigen - ohne Vektorrechnung
dafür mit Additionstheorem für sin....

Übrigens: Tolles Latex-Plugin im Forum, war mir
bisher noch nicht bewusst, dass es das hier gibt!

Viele Grüße

Andreas

[Længlich]

G'day!

1. ich ermittle den Winkel β der beiden Dreiecke (den am Punkt B). Das geht bestimmt irgendwie mit arccos oder arccsin .. wie genau weiß ich leider nicht.

Merke Dir die Gaga-Hamburg-Aktiengesellschaft. Klingt völlig verblödet, hilft aber, wenn Du die Abkürzungen geeignet untereinanderschreibst:
GAGA
----
HHAG

Wenn Du jetzt die Striche als Bruchstriche interpretierst, stehen hier hintereinander die Brüche für sin(β), cos(β), tan(β) und cot(β). Dabei steht:
G für die Gegenkathete,
A für die Ankathete und
H für die Hypothenuse.
Da Du alle drei kennst, hast Du freie Auswahl. :-)

2. die blaue Linie (Senkrechte von A auf c1) bildet wiederum ein rechtwinkliges Dreieck mit c2 und c1. Die Länge c2 habe ich ja, und den Winkel kann ich durch einfaches addieren bzw. subtrahieren aus β1 und β2 errechnen. Dann kommt wieder eine Kreisfunktion ... die ich wieder nicht genau kenne.

Hier suchst Du also die Gegenkathete, dann ist von den o.g. Formeln sin(β) = G / H ⇒ G = sin(β) · H die richtige.

Viele Grüße vom Længlich

[Gunnar Bittersmann]

@@André:

Dann suchst du den Abstand des Punktes A von der Geraden g. Google "Abstand Punkt Gerade" ... http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage472/ sieht doch ganz brauchbar aus.
wenn ich das, was auf der Seite steht auch nur annähernd verstehen würde ... tue ich leider nicht.

P ist ein beliebiger (aber fester) Punkt auf der Geraden (Stützpunkt), [latex]\vec p = \overrightarrow{OP}[/latex] ist der Ortsvektor des Punktes P.

[latex]\vec u[/latex] ist ein Richtungsvektor auf der Geraden.

(Wenn du erst von O nach P gehst, dann von P aus das k-fache von [latex]\vec u[/latex], bist du immer noch auf der Geraden. Lässt du nun k von -∞ bis +∞ laufen, erreichst du alle Punkte der Geraden. Also alle Punkte ([latex]\vec r[/latex] sei der jeweilige Ortsvektor), die auf der Geraden liegen, erfüllen die Gleichung [latex]\vec r = \vec p + k \vec u[/latex] (Punkt-Richtungs-Gleichung). Alle Punkte, die nicht auf der Geraden liegen, erfüllen die Gleichung nicht.)

Q ist der Punkt, dessen Abstand von der Geraden bestimmt werden soll, [latex]\vec q = \overrightarrow{OQ}[/latex] ist der Ortsvektor des Punktes Q.

Es gilt [latex]\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ}[/latex] (die Verschiebung von O nach Q ist dieselbe wie von O erst nach P, dann von P nach Q), also [latex]\vec q = \vec p + \overrightarrow{PQ}[/latex], [latex]\overrightarrow{PQ} = \vec q - \vec p[/latex].

Gesucht ist nun [latex]d = \frac {\left| \left( \vec q - \vec p \right) \times \vec u \right|} {\left| \vec u \right|}[/latex].

Wir haben B nicht umsonst in den Koordinatenursprung gelegt, sondern weil wir faule Säcke sind und uns die Berechnung möglichst einfach machen wollen.

B liegt ja auf der Geraden, also nehmen wir B auch als Stützpunkt. B = O = P, damit verschwindet [latex]\vec p = \overrightarrow{OP} = \vec 0[/latex] wegen Nichtigkeit aus der Rechnung.

Als Richtungsvektor nehmen wir [latex]\vec u = \overrightarrow{BA_1}[/latex], wobei A₁ der andere Endpunkt der Hypotenuse des roten Dreiecks sei. Dessen Koordinaten kennen wir: (a₁, b₁), also [latex]\vec u = \begin{pmatrix} a_1 \ b_1 \end{pmatrix}[/latex]

Q ist under Punkt A, also [latex]\vec q = \begin{pmatrix} a_2 \ b_2 \end{pmatrix}[/latex].

Damit ergibt sich [latex]d = \frac {\left| \begin{pmatrix} a_2 \ b_2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_1 \ b_1 \end{pmatrix} \right|} {\left| \begin{pmatrix} a_1 \ b_1 \end{pmatrix} \right|} = \frac {\left| a_2 b_1 - a_1 b_2 \right|} {\sqrt {a_1^2 + b_1^2}}[/latex], wenn ich mich nicht irre.

und den Winkel kann ich durch einfaches addieren bzw. subtrahieren aus β1 und β2 errechnen.

Damit solltest du auch zum Ziel kommen. Musst halt nur höllisch aufpassen, ob du β₁ + β₂, β₁ - β₂ oder β₂ - β₁ rechnen musst.

Live long and prosper,
Gunnar

[ritschmanhard]

Hi André!

Gegeben sind zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a1, b1 und c1 sowie a2, b2 und c2 (wobei c immer die Hypotenuse ist). Deren Länge kenne ich, dazu nur noch den Winkel γ, der jeweils 90° beträgt.

Die beiden Dreiecke liegen übereinander, wobei sie immer denselben Eckpunkt B haben. Die Kathete a2 liegt immer auf Kathete a1 und ist kürzer als diese.

Du kennst also c1, c2, weißt dass es sich um rechtwinklige Dreiecke handelt und kennst noch die Fakten über B und a1/2.
Damit ist die Aufgabe nicht lösbar, denn z.B. Bild1:

Nimm gedanklich einen Zirkel und stelle r=c2 ein. Stich ein bei B und ziehe den Kreis. Von vielen Kreispunkten pR=An kann ein Lot auf a1 gefällt werden. Dieses legt im Schnitt mit a1 die Punkte Cn fest (verschiedene gültige Dreiecke...).
Es wird schnell klar, dass die Lote von An auf c1 verschiedene Länge haben.

Grüsse,
Richard

[Gunnar Bittersmann]

@@ritschmanhard:

Gegeben sind zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a1, b1 und c1 sowie a2, b2 und c2 (wobei c immer die Hypotenuse ist). Deren Länge kenne ich

Das habe ich so gelesen: Die Längen a1, b1 und c1 sowie a2, b2 und c2 kenne ich.

Damit ist die Aufgabe doch lösbar.

Live long and prosper,
Gunnar

[André]

Hallo Richard,

Du kennst also c1, c2, weißt dass es sich um rechtwinklige Dreiecke handelt und kennst noch die Fakten über B und a1/2.
Damit ist die Aufgabe nicht lösbar, denn z.B. Bild1:

Nimm gedanklich einen Zirkel und stelle r=c2 ein. Stich ein bei B und ziehe den Kreis. Von vielen Kreispunkten pR=An kann ein Lot auf a1 gefällt werden. ...

kein Problem, C1 darf in die Uneendlichkeit fortgesetzt werden, um eine senkrechte von A auf c1 zuzulassen.

Aber das wird in der Praxis dieser Anwendung nicht passieren. Die Grafik verzerrt die Dimensionen stark. Die Daten, die ich auswerten muß wären derart flache Dreiecke, daß sie auf der Grafik beinahe wie Linien aussehen würden. z.B. wird der Winkel β an B kaum größer als 5°, maximal 10°, und das sind dann schon die Ausreißer.

Gruß, André