Er ist ja schon so lange her, der Matheunterricht ...

[Gunnar Bittersmann]

@@André:

Dann suchst du den Abstand des Punktes A von der Geraden g. Google "Abstand Punkt Gerade" ... http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage472/ sieht doch ganz brauchbar aus.
wenn ich das, was auf der Seite steht auch nur annähernd verstehen würde ... tue ich leider nicht.

P ist ein beliebiger (aber fester) Punkt auf der Geraden (Stützpunkt), [latex]\vec p = \overrightarrow{OP}[/latex] ist der Ortsvektor des Punktes P.

[latex]\vec u[/latex] ist ein Richtungsvektor auf der Geraden.

(Wenn du erst von O nach P gehst, dann von P aus das k-fache von [latex]\vec u[/latex], bist du immer noch auf der Geraden. Lässt du nun k von -∞ bis +∞ laufen, erreichst du alle Punkte der Geraden. Also alle Punkte ([latex]\vec r[/latex] sei der jeweilige Ortsvektor), die auf der Geraden liegen, erfüllen die Gleichung [latex]\vec r = \vec p + k \vec u[/latex] (Punkt-Richtungs-Gleichung). Alle Punkte, die nicht auf der Geraden liegen, erfüllen die Gleichung nicht.)

Q ist der Punkt, dessen Abstand von der Geraden bestimmt werden soll, [latex]\vec q = \overrightarrow{OQ}[/latex] ist der Ortsvektor des Punktes Q.

Es gilt [latex]\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ}[/latex] (die Verschiebung von O nach Q ist dieselbe wie von O erst nach P, dann von P nach Q), also [latex]\vec q = \vec p + \overrightarrow{PQ}[/latex], [latex]\overrightarrow{PQ} = \vec q - \vec p[/latex].

Gesucht ist nun [latex]d = \frac {\left| \left( \vec q - \vec p \right) \times \vec u \right|} {\left| \vec u \right|}[/latex].

Wir haben B nicht umsonst in den Koordinatenursprung gelegt, sondern weil wir faule Säcke sind und uns die Berechnung möglichst einfach machen wollen.

B liegt ja auf der Geraden, also nehmen wir B auch als Stützpunkt. B = O = P, damit verschwindet [latex]\vec p = \overrightarrow{OP} = \vec 0[/latex] wegen Nichtigkeit aus der Rechnung.

Als Richtungsvektor nehmen wir [latex]\vec u = \overrightarrow{BA_1}[/latex], wobei A₁ der andere Endpunkt der Hypotenuse des roten Dreiecks sei. Dessen Koordinaten kennen wir: (a₁, b₁), also [latex]\vec u = \begin{pmatrix} a_1 \ b_1 \end{pmatrix}[/latex]

Q ist under Punkt A, also [latex]\vec q = \begin{pmatrix} a_2 \ b_2 \end{pmatrix}[/latex].

Damit ergibt sich [latex]d = \frac {\left| \begin{pmatrix} a_2 \ b_2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_1 \ b_1 \end{pmatrix} \right|} {\left| \begin{pmatrix} a_1 \ b_1 \end{pmatrix} \right|} = \frac {\left| a_2 b_1 - a_1 b_2 \right|} {\sqrt {a_1^2 + b_1^2}}[/latex], wenn ich mich nicht irre.

und den Winkel kann ich durch einfaches addieren bzw. subtrahieren aus β1 und β2 errechnen.

Damit solltest du auch zum Ziel kommen. Musst halt nur höllisch aufpassen, ob du β₁ + β₂, β₁ - β₂ oder β₂ - β₁ rechnen musst.

Live long and prosper,
Gunnar