nicht angemeldet
Hallo,
Bei einer Aufgabe war gefragt, ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
zunächst kannst Du ausnutzen, dass
für x<<1 die Taylorentwicklung von
1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... ergibt.
Angewendet auf Deinen Term ergibt sich:
[latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+\ln(n)} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1/n}{1+\ln(n)/n^2} [/latex]
Nun ist ln(n)/n^2 entweder 0 (für n=1) oder
für n>=2 deutlich kleiner als 1, so dass obige
Taylorformel zur Anwendung kommt:
[latex]\ldots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left{1-\frac{\ln(n)}{n^2}+\frac{\ln(n)^2}{n^4}-\frac{\ln(n)^3}{n^6}+\ldots\right}[/latex]
[latex] = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{\infty}\left{\frac{\ln(n)}{n^3}-\frac{\ln(n)^2}{n^5}+\frac{\ln(n)^3}{n^4}-\ldots\right}[/latex]
In der rechten Klammer kann man jetzt ln(n)/n^3 ausklammern,
dann steht da
[latex] = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^3}\left{1-\frac{\ln(n)}{n^2}+\frac{\ln(n)^2}{n^4}-\frac{\ln(n)^3}{n^6}+\ldots\right}[/latex]
Das, was jetzt in der Klammer steht, kennen wir schon
und wandeln es mit Hilfe der Taylor-Formel wieder zurück
in den geschlossenen Ausdruck:
[latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+\ln(n)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^3}\frac{1}{1+\ln(n)/n^2}[/latex]
Damit steht links eine Reihe, die bekanntermaßen divergiert (1/n)
und rechts eine Reihe, der man leicht ansieht, dass sie endlich
ist (z. B. könnte man leicht zeigen, dass eine Reihe über
1/n^2 eine Majorante ist).
Damit divergiert letztendlich das ganze Gebilde.
Falls jemand Rechenfehler findet, bin ich für Korrekturen dankbar.
MfG
Andreas