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OT: Mathe-Klausuraufgabe (Konvergenz von Reihen)
Hi,
Frage an die Mathematiker unter euch.
Ich hatte heute Mathe-Klausur.
Bei einer Aufgabe war gefragt, ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
Ich habe anschließend lange mit meinen Mitstudenten darüber diskutiert und wir sind auf kein Ergebnis gekommen.
Mit Wurzelkriterium würd ich sagen dass es die n-te Wurzel aus 0 ist. Das ist 0 und damit < 1, daraus folgt dass die Reihe konvergiert.
Mit Quotientenkriterium kommt 1 raus, was keinen Schluss zulässt, das Erbebnis müsste aber eigentlich das gleiche wie beim Wurzelkriterium sein.
Für andere Kriterien sah ich keinen richtigen Ansatzpunkt.
Kann mir jemand sagen, was die Reihe macht?
mfG,
steckl
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Hi,
hast du für n einfach mal Zahlen eingesetzt und ausgerechnet? Probieren geht (bekanntlich) über studieren. :) Aber da einfach mal die n-te Wurzel drumherumzupacken, ist schon mutig. ;)
Gutnacht, Frank
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Hi,
hast du für n einfach mal Zahlen eingesetzt und ausgerechnet? Probieren geht (bekanntlich) über studieren. :)
Mir fiel nichts besseres ein, dann hab ich eben versucht, das Wurzelkriterium anzuwenden.
Bevor ich garkeine Lösung abgebe versuch ich es lieber mit einer, bei der wenigstens eine (ganz) kleine Chance besteht, dass ich noch ein paar Punkte abstaube.Aber da einfach mal die n-te Wurzel drumherumzupacken, ist schon mutig. ;)
Gefahr ist mein zweiter Vorname. ;-)
mfG,
steckl
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Hi,
Bei einer Aufgabe war gefragt, ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
Die Reihe [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + \ln(n)}[/latex] divergiert.
Dies erhält man über das Minorantenkriterium. Vorbemerkung:
[latex]\ln(n) < n^2[/latex] für [latex]n >= 1[/latex]
Daraus folgt:
a) [latex]n^2 + \ln(n) < n^2 + n^2 = 2n^2[/latex]
b) [latex]\frac{1}{n^2 + \ln(n)} > \frac{1}{2n^2}[/latex]
c) [latex]\frac{n}{n^2 + \ln(n)} > \frac{n}{2n^2} = \frac{1}{2n}[/latex]Das heißt: Die Reihe
[latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + \ln(n)}[/latex]
lässt sich abschätzen durch die Reihe
[latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}[/latex]
Das ist die harmonische Reihe (mit einem irrelevanten Faktor 1/2) und diese divergiert. Damit divergiert auch die angegebene Reihe.
Mit Wurzelkriterium würd ich sagen dass es die n-te Wurzel aus 0 ist. Das ist 0 und damit < 1, daraus folgt dass die Reihe konvergiert.
Man darf den Grenzwert NIE, NIE, NIE auch nur teilweise ziehen. Wenn man den Limes zieht, dann muss man ihn IMMER AUF EINMAL ziehen. Sonst kommt man in Teufels Küche. Wenn Du den Grenzwert des Wurzelkriteriums richtig berechnen willst, dann musst Du folgendes machen:
[latex]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{n}{n^2 + \ln(n)}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1/n}{1 + \frac{\ln(n)}{n^2}}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1 + \frac{\ln(n)}{n^2}}}[/latex]
[latex]=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}\cdot\sqrt[n]{\frac{1}{1 + \frac{\ln(n)}{n^2}}}[/latex]Der Limes davon ist auch 1. Das Wurzelkriterium hilft hier also genau so wenig.
Viele Grüße,
Christian-
Hi,
danke für die sehr ausführliche Beschreibung.
Die Reihe [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + \ln(n)}[/latex] divergiert.
Dies erhält man über das Minorantenkriterium. Vorbemerkung:
[latex]\ln(n) < n^2[/latex] für [latex]n >= 1[/latex]
Das war der entscheidende Punkt der mir gefehlt hat.
Dem Rest kann ich dann wieder folgen.Man darf den Grenzwert NIE, NIE, NIE auch nur teilweise ziehen. Wenn man den Limes zieht, dann muss man ihn IMMER AUF EINMAL ziehen. Sonst kommt man in Teufels Küche. Wenn Du den Grenzwert des Wurzelkriteriums richtig berechnen willst, dann musst Du folgendes machen:
Das war mehr oder weniger ein Verzweiflungsversuch, weil ich sonst auch keines der Kriterien anwenden konnte.
mfG,
steckl -
Hallo,
Man darf den Grenzwert NIE, NIE, NIE auch nur teilweise ziehen. Wenn man den Limes zieht, dann muss man ihn IMMER AUF EINMAL ziehen. Sonst kommt man in Teufels Küche.
*gg* Das hast du sehr schön gesagt, auch wenn ich inhaltlich nichts verstehe. ;) Wenn ich das nächste mal einen Limes treffe, werde ich den Rat beherzigen.
Mathias
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hi!
Mit Quotientenkriterium kommt 1 raus, was keinen Schluss zulässt, das
Erbebnis müsste aber eigentlich das gleiche wie beim Wurzelkriterium sein.Abgesehen von dem, was Christian schon geschrieben hat, ist das doch auch
Unsinn? Wenn eine Reihe laut Wurzelkriterium konvergiert und das Quotienten-
kriterium keine Loesung liefert, dann reicht das vollkommen als Beweis fuer
die Konvergenz. Oder meine Mathevorlesungen sind schon zu lange her ...bye, Frank!
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Never argue with an idiot. He will lower you to his level and then
beat you with experience.-
Hi,
Wenn eine Reihe laut Wurzelkriterium konvergiert und das Quotienten-
kriterium keine Loesung liefert, dann reicht das vollkommen als Beweis fuer
die Konvergenz.Soweit ich weiß sollte bei den beiden Kriterien immer das gleiche Ergebnis rauskommen, wenn sie beide angewendet werden können (wobei z.B. Wurzelkriterium bei Reihen mit Fakultät meistens nicht schön anwendbar ist).
mfG,
steckl-
Hi,
Wenn eine Reihe laut Wurzelkriterium konvergiert und das Quotienten-
kriterium keine Loesung liefert, dann reicht das vollkommen als Beweis fuer
die Konvergenz.Soweit ich weiß sollte bei den beiden Kriterien immer das gleiche Ergebnis rauskommen, wenn sie beide angewendet werden können (wobei z.B. Wurzelkriterium bei Reihen mit Fakultät meistens nicht schön anwendbar ist).
Nein! Es gibt Fälle, in denen das eine Kriterium funktioniert (d.h. < 1 oder > 1 liefert) und das andere nicht (d.h. = 1 liefert).
Viele Grüße,
Christian
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Hallo,
Bei einer Aufgabe war gefragt, ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
zunächst kannst Du ausnutzen, dass
für x<<1 die Taylorentwicklung von
1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... ergibt.
Angewendet auf Deinen Term ergibt sich:[latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+\ln(n)} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1/n}{1+\ln(n)/n^2} [/latex]
Nun ist ln(n)/n^2 entweder 0 (für n=1) oder
für n>=2 deutlich kleiner als 1, so dass obige
Taylorformel zur Anwendung kommt:[latex]\ldots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left{1-\frac{\ln(n)}{n^2}+\frac{\ln(n)^2}{n^4}-\frac{\ln(n)^3}{n^6}+\ldots\right}[/latex]
[latex] = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{\infty}\left{\frac{\ln(n)}{n^3}-\frac{\ln(n)^2}{n^5}+\frac{\ln(n)^3}{n^4}-\ldots\right}[/latex]
In der rechten Klammer kann man jetzt ln(n)/n^3 ausklammern,
dann steht da[latex] = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^3}\left{1-\frac{\ln(n)}{n^2}+\frac{\ln(n)^2}{n^4}-\frac{\ln(n)^3}{n^6}+\ldots\right}[/latex]
Das, was jetzt in der Klammer steht, kennen wir schon
und wandeln es mit Hilfe der Taylor-Formel wieder zurück
in den geschlossenen Ausdruck:[latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+\ln(n)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^3}\frac{1}{1+\ln(n)/n^2}[/latex]
Damit steht links eine Reihe, die bekanntermaßen divergiert (1/n)
und rechts eine Reihe, der man leicht ansieht, dass sie endlich
ist (z. B. könnte man leicht zeigen, dass eine Reihe über
1/n^2 eine Majorante ist).
Damit divergiert letztendlich das ganze Gebilde.Falls jemand Rechenfehler findet, bin ich für Korrekturen dankbar.
MfG
Andreas
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Hi,
auch dir danke für die Erklärung.
Damit steht links eine Reihe, die bekanntermaßen divergiert (1/n)
und rechts eine Reihe, der man leicht ansieht, dass sie endlich
ist (z. B. könnte man leicht zeigen, dass eine Reihe über
1/n^2 eine Majorante ist).
Damit divergiert letztendlich das ganze Gebilde.Deinen Rechenweg kann ich zwar nachvollziehen, aber darauf wär ich nie selber gekommen. Vor allem unter Prüfungsdruck.
mfG,
steckl-
Hi,
Deinen Rechenweg kann ich zwar nachvollziehen, aber darauf wär ich nie selber gekommen. Vor allem unter Prüfungsdruck.Ich muss auch sagen, dass der Weg von Christian
mir im Nachhinein einfacher und direkter erscheint.
Aber in der Mathematik führen ja
bekanntlich viele Wege nach Rom ;-)Viele Grüße
Andreas
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hallo,
Ich hatte heute Mathe-Klausur.
Was bedeutet das: an der Uni? Welchen Stellenwert hat eine solche Klausur (heute)?
Bei einer Aufgabe war gefragt, ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert
öhm ... dir ist möglicherweise nicht bekannt, daß du deine Graphen auch im Forum hättest mit forunmseigenen Mitteln darstellen können.
Merkwürdig: ich habe in meiner Schulzeit (Abitur 1970) immer zu den besten Mathematikern gehört, habe bei Mathematikolympiaden vordere Plätze belegt. "Damals" konnte ich mit solchen Zeichenfolgen umgehen, fand sie sogar irgendwie ästhetisch. Heute verstehe ich nicht einmal mehr, was man mit einer solchen Formel überhaupt erreichen möchte. Also verstehe ich auch deine Frage überhaupt nicht.Irgendwie finde ich das sehr schade. In _meiner_ Biographie hat es offensichtlich nach dem Abitur nie mehr den geringsten Anlaß gegeben, mich um höherwertige mathematische Operationen kümmern zu müssen. Selbst im Studium (Medizin) reichte es völlig aus, zur Berechnung von Laborwerten die Grundrechenarten zu kennen und anwenden zu können.
Allerdings: solange ich als Schüler die Mathematik ganz einfach "schön" fand war noch überhaupt keine Rede von Chaostheorie, fraktalen Reihen und Ähnlichem. Heute hätte ich _eigentlich_ Bedarf an ein paar Differentialgleichungen, mit denen ich aufs Gramm genau bestimmen kann, wieviel Gramm Zucker ich auf 29 Liter Maischeansatz für einen Holunderwein zugeben muß, damit am Ende genau 12,6 Vol% Allohol herauskommen ;-)
Daraus ergibt sich natürlich die philosophische Frage, in welchem Verhältnis Mathematik und Holunderwein stehen. Archimedes, fürchte ich, wußte zwar mehr von Mathematik als ich, dafür aber deutlich weniger vom Holunder. Und wer weiß - eines Tages könnte ja die Forschung herausfinden, daß der Legionär, der ihn erschlug, grade zuviel schlechtgemachten Traubenwein in sich hatte, weshalb ihm die Mathematik ziemlich schnuppe, der Wein aber etwas wert war ...
Grüße aus Berlin
Christoph S.
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Hi,
Ich hatte heute Mathe-Klausur.
Was bedeutet das: an der Uni?
Bin auf der FH, aber dort sollten Klausuren das gleiche wie an der Uni sein.
Welchen Stellenwert hat eine solche Klausur (heute)?
Bei mir ist es so, dass ich in allen Fächern (Vorlesungen), die ich in einem Semester habe eine Klausur schreiben muss. Bei technischer Informatik sind das je nach Semester 4 bis 6.
Früher als es noch Diplom gab galt bis zum Vordiplom 4 gewinnt, das heißt entweder bestanden oder nicht bestanden, ob mit 1 oder 4 war egal. Und erst die Noten die nicht mehr zum Vordiplom zählten kamen in das Abschlusszeugnis (falls das so heißt).
Seit es statt Diplom nur noch Bachelor und Master gibt hat sich das geändert und alle Noten zählen von Anfang an für den Abschluss, auch die ganzen Nebenfächer, die eigentlich nicht unbedingt sehr viel mit Informatik zu tun haben, wie BWL oder Physik.
Bei uns an der FH wird noch darüber diskutiert, ob die Noten aus den ersten Semestern eventuell geringer gewichtet werden sollten, aber ich glaube das kann jede Hochschule für sich entscheiden.So ist es zumindest auf meiner FH in Informatik- und Mathematik- Studiengängen ist.
Ich weiß z.B. von einer bekannten, die auf der Uni Jura studiert, dass sie in einigen Fächern nicht gleich nach einem Semester Klausuren hat, aber dort wurde auch (noch) nicht auf Bachelor umgestellt.öhm ... dir ist möglicherweise nicht bekannt, daß du deine Graphen auch im Forum hättest mit forunmseigenen Mitteln darstellen können.
Doch, aber ich beherrsche leider kein LaTeX. Hab bisschen damit rumgespielt und versucht den Formel-Code aus Open Office 1 zu 1 reinzukopieren, aber das hat nicht geklappt, dann hab ich es gelassen.
Merkwürdig: ich habe in meiner Schulzeit (Abitur 1970) immer zu den besten Mathematikern gehört, habe bei Mathematikolympiaden vordere Plätze belegt. "Damals" konnte ich mit solchen Zeichenfolgen umgehen, fand sie sogar irgendwie ästhetisch. Heute verstehe ich nicht einmal mehr, was man mit einer solchen Formel überhaupt erreichen möchte. Also verstehe ich auch deine Frage überhaupt nicht.
Mit den kenntnissen aus meiner Schulzeit würde ich da auch nicht viel mehr wie Bahnhof verstehen.
Du kannst dir das ganze als eine For-Schleife vorstellen, die (in diesem Fall) mit der Zählvariablen von 1 bis unendlich (falls man sich das vorstellen kann) läuft. Darin wird dann mit jedem Durchlauf ein Summand zum Ergebnis dazugezählt.
Wenn die Reihe konvergiert hast du am Schluss ein endliches Ergebnis, wenn sie divergiert ist das Ergebnis unendlich.Irgendwie finde ich das sehr schade. In _meiner_ Biographie hat es offensichtlich nach dem Abitur nie mehr den geringsten Anlaß gegeben, mich um höherwertige mathematische Operationen kümmern zu müssen. Selbst im Studium (Medizin) reichte es völlig aus, zur Berechnung von Laborwerten die Grundrechenarten zu kennen und anwenden zu können.
Dafür hast du aber wohl auch das Glück, dass du auch Sachen aus anderen Fächern nicht mehr verwenden musstest/musst.
Ich hoffe z.B., dass ich nie wieder in einem Textgebundenen Aufsatz irgenwelche Denkweisen von Dichtern deuten muss.Heute hätte ich _eigentlich_ Bedarf an ein paar Differentialgleichungen, mit denen ich aufs Gramm genau bestimmen kann, wieviel Gramm Zucker ich auf 29 Liter Maischeansatz für einen Holunderwein zugeben muß, damit am Ende genau 12,6 Vol% Allohol herauskommen ;-)
Heißt das, dass du deinen Holunderwein auf gut Glück herstellst?
Nach dem Motto "Einfach mal alles rein und schaun was rauskommt". ;-)mfG,
steckl-
hallo,
Heißt das, dass du deinen Holunderwein auf gut Glück herstellst?
Nach dem Motto "Einfach mal alles rein und schaun was rauskommt". ;-)Nein, aber es gibt sehr viele Faktoren, die hineinspielen: Wasserhärte, Temperatur, eingesetzte Heferasse, Zeiträume, Mischungsverhältnis Fruchtsaft/Wasser, Säurewerte usw. Eine "grammgenaue" Zuckerberechnung ist so gut wie unmöglich. Es gilt die Faustregel, daß rund 20 Gramm Zucker auf einen Liter 1 Vol% ergeben würde. Für 12 Vol% brauche ich also ca. 7 Kilo Zucker bei einem 30-Liter-Ballon.
Grüße aus Berlin
Christoph S.
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