nicht angemeldet
Hi,
Bei einer Aufgabe war gefragt, ob folgende Reihe konvergiert oder divergiert:
Die Reihe [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + \ln(n)}[/latex] divergiert.
Dies erhält man über das Minorantenkriterium. Vorbemerkung:
[latex]\ln(n) < n^2[/latex] für [latex]n >= 1[/latex]
Daraus folgt:
a) [latex]n^2 + \ln(n) < n^2 + n^2 = 2n^2[/latex]
b) [latex]\frac{1}{n^2 + \ln(n)} > \frac{1}{2n^2}[/latex]
c) [latex]\frac{n}{n^2 + \ln(n)} > \frac{n}{2n^2} = \frac{1}{2n}[/latex]
Das heißt: Die Reihe
[latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + \ln(n)}[/latex]
lässt sich abschätzen durch die Reihe
[latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}[/latex]
Das ist die harmonische Reihe (mit einem irrelevanten Faktor 1/2) und diese divergiert. Damit divergiert auch die angegebene Reihe.
Mit Wurzelkriterium würd ich sagen dass es die n-te Wurzel aus 0 ist. Das ist 0 und damit < 1, daraus folgt dass die Reihe konvergiert.
Man darf den Grenzwert NIE, NIE, NIE auch nur teilweise ziehen. Wenn man den Limes zieht, dann muss man ihn IMMER AUF EINMAL ziehen. Sonst kommt man in Teufels Küche. Wenn Du den Grenzwert des Wurzelkriteriums richtig berechnen willst, dann musst Du folgendes machen:
[latex]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{n}{n^2 + \ln(n)}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1/n}{1 + \frac{\ln(n)}{n^2}}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1 + \frac{\ln(n)}{n^2}}}[/latex]
[latex]=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}\cdot\sqrt[n]{\frac{1}{1 + \frac{\ln(n)}{n^2}}}[/latex]
Der Limes davon ist auch 1. Das Wurzelkriterium hilft hier also genau so wenig.
Viele Grüße,
Christian