Mathematik: Kehrwert bei Brüchen

[Christian Seiler]

Hallo!

Wo nun mein Problem ist:

1

8     8
-  -  -
2     4

Also, um es etwas schöner darzustellen:

[latex]\frac{1}{\frac{8}{2} - \frac{8}{4}}[/latex]

Das Problem an dieser Aufgabe ist, dass Du nicht einen einzigen Bruch im Nenner hast, sondern eine Differenz zweier Brüche. Die musst Du erst auf einen Haupnenner bringen:

[latex]\frac{8}{2} - \frac{8}{4} = \frac{8\cdot 2}{2\cdot 2} - \frac{8}{4} = \frac{16 - 8}{4} = \frac{8}{4}[/latex]

(Könnte man hier auch noch zu 2/1 kürzen.)

Das heißt, im Nenner steht im Endeffekt nur der Bruch [latex]\frac{8}{4}[/latex], d.h. Du musst ausreichnen:

[latex]\frac{1}{\frac{8}{4}} = 1\cdot \frac{4}{8} = \frac{1}{2}[/latex]

a+b     a-b
   ----  - -----
    b        a

1       1
    -   -   -
    a       b

Also:

[latex]\frac{\frac{a+b}{b} - \frac{a-b}{a}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}[/latex]

Nunja, die Brüche im Nenner auf einen Hauptnenner bringen:

[latex]\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1\cdot b}{a\cdot b} - \frac{1\cdot a}{b\cdot a} = \frac{b - a}{a\cdot b}[/latex]

Dann kannst Du davon den Kehrwert ausrechen:

[latex]\frac{1}{\frac{b - a}{a\cdot b}} = \frac{a\cdot b}{b - a}[/latex]

Wenn Du nun den Zähler zusammenfassen willst, solltest Du den auch auf einen Hauptnenner bringen:

[latex]\frac{a+b}{b} - \frac{a-b}{a} = \frac{(a+b)\cdot a}{b\cdot a} - \frac{(a-b)\cdot b}{a\cdot b} = \frac{a\cdot (a+b) - b\cdot (a-b)}{a\cdot b}[/latex]

Dann fallen da einige Terme heraus:

[latex]\frac{a\cdot (a+b) - b\cdot (a-b)}{a\cdot b} = \frac{a^2 + a\cdot b - b\cdot a + b^2}{a\cdot b} = \frac{a^2 + b^2}{a\cdot b}[/latex]

Dann multiplizierst Du den Kehrwert vom Nenner mit dem Zähler zusammen, kürzt, und erhälst Dein Ergebnis:

[latex]\frac{a^2 + b^2}{a\cdot b} \cdot \frac{a\cdot b}{b - a} = \frac{a^2 + b^2}{b - a}[/latex]

Viele Grüße,
Christian