Mathematik: Kehrwert bei Brüchen

[gottlieb]

Hallo Forum, eine kleine Forum, da ich ein kleines Problem bei ner Umformung habe:

1                   2
-----         =  1 *  -
  1                   1
  -
  2

1 / 0.5 = 2  ==  1 * 2 = 2 (Probe passt)

Also, einfach umkehren und Mal nehmen.

Wo nun mein Problem ist:

1                       2   4
----------        =   1 * ( - - - )
 8     8                    8   8
 -  -  -
 2     4

1 / (4-2) = 0.5  !=  1 * (0.25 - 0.5) = -0.25

Dieses Shema wollte ich auf diese Aufgabe anwenden:

a+b     a-b
   ----  - -----
    b        a
---------------------
    1       1
    -   -   -
    a       b

Dies soll anscheinend umgeformt folgendes ergeben:

a2 + b2
Q(a,b) =    ---------
              b - a

Grüße

[Rolf]

Hallo Gotlieb,

Du musst zuerst die Summe im Nenner auflösen, bevor Du aus selbigen einen Kehrwert ermitteln kannst.

mbG Rolf

[MudGuard]

Hi,

Hallo Forum, eine kleine Forum, da ich ein kleines Problem bei ner Umformung habe:

1                   2
-----         =  1 *  -
  1                   1
  -
  2

1 / 0.5 = 2  ==  1 * 2 = 2 (Probe passt)

Also, einfach umkehren und Mal nehmen.

Wo nun mein Problem ist:

1                       2   4
----------        =   1 * ( - - - )
8     8                    8   8
-  -  -
2     4

Diese Umformung ist falsch.
Der Kehrwert einer Differenz ist NICHT 1 durch die Differenz der Kehrwerte.

a+b     a-b
   ----  - -----
    b        a

1       1
    -   -   -
    a       b

Ich würd erstmal die 4 Einzelbrüche auf einen gemeinsamen Nenner (ab) bringen:

a(a+b)   b(a-b)
 ------ - ------
   ab       ab
-----------------
    b       a
   --   -  --
   ab      ab

Jetzt kann man oben und unten zusammenfassen:

a(a+b) - b(a-b)
  ---------------
        ab
------------------
       b-a
      -----
        ab

Jetzt mit ab erweitern

a(a+b) - b(a-b)
--------------------
        b - a

Zähler ausrechnen ergibt

a² + ab - ab + b²
------------------
      b - a

zusammengefaßt:

a² + b²
-------
 b - a

cu,
Andreas

[Christian Seiler]

Hallo!

Wo nun mein Problem ist:

1

8     8
-  -  -
2     4

Also, um es etwas schöner darzustellen:

[latex]\frac{1}{\frac{8}{2} - \frac{8}{4}}[/latex]

Das Problem an dieser Aufgabe ist, dass Du nicht einen einzigen Bruch im Nenner hast, sondern eine Differenz zweier Brüche. Die musst Du erst auf einen Haupnenner bringen:

[latex]\frac{8}{2} - \frac{8}{4} = \frac{8\cdot 2}{2\cdot 2} - \frac{8}{4} = \frac{16 - 8}{4} = \frac{8}{4}[/latex]

(Könnte man hier auch noch zu 2/1 kürzen.)

Das heißt, im Nenner steht im Endeffekt nur der Bruch [latex]\frac{8}{4}[/latex], d.h. Du musst ausreichnen:

[latex]\frac{1}{\frac{8}{4}} = 1\cdot \frac{4}{8} = \frac{1}{2}[/latex]

a+b     a-b
   ----  - -----
    b        a

1       1
    -   -   -
    a       b

Also:

[latex]\frac{\frac{a+b}{b} - \frac{a-b}{a}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}[/latex]

Nunja, die Brüche im Nenner auf einen Hauptnenner bringen:

[latex]\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1\cdot b}{a\cdot b} - \frac{1\cdot a}{b\cdot a} = \frac{b - a}{a\cdot b}[/latex]

Dann kannst Du davon den Kehrwert ausrechen:

[latex]\frac{1}{\frac{b - a}{a\cdot b}} = \frac{a\cdot b}{b - a}[/latex]

Wenn Du nun den Zähler zusammenfassen willst, solltest Du den auch auf einen Hauptnenner bringen:

[latex]\frac{a+b}{b} - \frac{a-b}{a} = \frac{(a+b)\cdot a}{b\cdot a} - \frac{(a-b)\cdot b}{a\cdot b} = \frac{a\cdot (a+b) - b\cdot (a-b)}{a\cdot b}[/latex]

Dann fallen da einige Terme heraus:

[latex]\frac{a\cdot (a+b) - b\cdot (a-b)}{a\cdot b} = \frac{a^2 + a\cdot b - b\cdot a + b^2}{a\cdot b} = \frac{a^2 + b^2}{a\cdot b}[/latex]

Dann multiplizierst Du den Kehrwert vom Nenner mit dem Zähler zusammen, kürzt, und erhälst Dein Ergebnis:

[latex]\frac{a^2 + b^2}{a\cdot b} \cdot \frac{a\cdot b}{b - a} = \frac{a^2 + b^2}{b - a}[/latex]

Viele Grüße,
Christian

[gottlieb]

Hey Christian, Cheatah, MudGuard und Rolf,

vielen Dank für eure Hilfestellungen und auch für die ausführliche Lösung.
Ich habe dann wohl die Regel völligst vergessen, unterschätzt, nicht beachtet, wie auch immer, dass man den Kehrwert nur mit "einem" Bruch machen kann ;)

Hierzu einfach mit a und b den Nenner auf einen Hauptnenner bringen
                   -     -
                   a     b

Was ich mir nun noch anschauen sollte, wann man das Kreuzprodukt anwendet.
Da schaue ich aber naher einfach mal in der Formelsammlung nach.

Grüße

[Tom]

Hello,

Also, um es etwas schöner darzustellen:

[latex]\frac{1}{\frac{8}{2} - \frac{8}{4}}[/latex]

ich habe da wohl was verschlafen.
Wo wird denn die Umsetzung in die Grafik des Latex-Codes gemacht?
Macht das der Browser oder bekomme ich das als Bild vom Server.

Sollte nun einer sagen: schau doch in den Quelltext...
Da steht nur Latexcode, oder verschaukeln mich die Browser hier auch schon wieder?

Liebe Grüße

Tom

[Vinzenz Mai]

Hallo Tom,

Macht das der Browser oder bekomme ich das als Bild vom Server.

ich bekomme jedenfalls ein Bild.

Sollte nun einer sagen: schau doch in den Quelltext...

Schau doch in den Quelltext!

Ich finde dort:
<img src="/tex/3dbcca370f22464815a4098792afb9a5.png" alt="\frac{1}{\frac{8}{2} - \frac{8}{4}}" title="\frac{1}{\frac{8}{2} - \frac{8}{4}}" />

Da steht nur Latexcode,

In meinem Firefox sieht das anders aus.

oder verschaukeln mich die Browser hier auch schon wieder?

Das würde ich mir an Deiner Stelle nicht bieten lassen ;-)

Freundliche Grüße

Vinzenz

[Tom]

Hello Vinzenz,

Schau doch in den Quelltext!

Ich finde dort:
<img src="/tex/3dbcca370f22464815a4098792afb9a5.png" alt="\frac{1}{\frac{8}{2} - \frac{8}{4}}" title="\frac{1}{\frac{8}{2} - \frac{8}{4}}" />

Da steht nur Latexcode,

Oh jeh!
Ich bin wirklich eingerostet.
Heute den ersten Tag wieder einen PC in den Fingern. Und sogar HTTP-Zugang.

Hab ich wohl soweit gescrollt, bis der Inhalt der Textarea kam. Da steht natürlich nur der Latex-Code drin *tztz*

Liebe Grüße

Tom

[Vinzenz Mai]

Hallo Tom,

schön, wieder was von Dir zu lesen.

Heute den ersten Tag wieder einen PC in den Fingern. Und sogar HTTP-Zugang.

und einen TFT-Monitor statt der gewohnten Röhre ...

Freundliche Grüße

Vinzenz

[Cheatah]

Hi,

1                       2   4
----------        =   1 * ( - - - )
8     8                    8   8
-  -  -
2     4

man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Soweit klar.

Ich betone es etwas anders: Man dividiert durch *einen* Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Du dividierst hier durch zwei Brüche, genauer gesagt durch eine Subtraktion zweier Brüche. Zu diesem Fall kennst Du keine Regel. Und was macht ein Mathematiker, wenn er ein Problem bewältigen soll, dass er nicht kennt?

Richtig: Er führt es auf etwas Bekanntes zurück. Mache aus der Subtraktion zweier Brüche also einen einzigen Bruch. Wie das geht, haben Dir andere bereits mitgeteilt.

Cheatah