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echo $begrüßung;
Lass das doch direkt MySQL machen, etwa so
$abfrage ="SELECT bestimmte, Datenfelde, nicht, alles FROM daten WHERE name LIKE '".$_POST["swort"]."' ODER BY name";
Bitte die kontextgerechte Behandlung von Werten nicht vergessen, sonst gibt es wie in diesem Beispiel eine SQL-Injection-Lücke oder zumindest Fehler bei eingegebenen Suchwörtern wie O'Brien.
Und dann wolltest du ja eine Mustersuche vorschlagen, also must du auch ein Muster in die Suchanfrage einbauen.
$abfrage = sprintf("SELECT bestimmte, Datenfelder, nicht, alles FROM daten WHERE name LIKE '%s%%' ORDER BY name",
mysql_real_escape_string($_POST["swort"]));
Das %s%% ist so zu lesen: %s ist ein Platzhalter, an dem der behandelte Wert eingesetzt wird. Das %% steht für das LIKE-Jokerzeichen % von MySQL, das gemäß der sprintf()-Syntax verdoppelt werden muss.
echo "$verabschiedung $name";