echo $begrüßung;
Ein Formular wird mittels beim Abschicken mittels PHP immer an sich selbst geschickt, bis alle Eingaben korrekt sind. Ist dies der Fall würde ich gerne alle Informationen die unter $_POST bereit stehen an eine weitere PHP Seite übergeben, die diese weiterverarbeitet.
Du möchtest also den Browser einen erneuten Request mit den Daten absenden lassen und gehst davon aus, das die Daten nun geprüft seien. Wenn du einen Browser per Redirekt auf eine andere Seite schickst, dann kann man diese URL auch direkt aufrufen und Daten übergeben, die zuvor nicht dein Prüf-Script gesehen haben. Du musst also die Prüfung im verarbeitenden Script wiederholen und bist damit wieder auf dem Stand des ursprünglichen Nur-Prüf-Scripts. Lass also Prüfung, Ablehnung/Wiedervorlage und Verarbeitung in einem Script und schick den Browser, wenn es sein muss, am erfolgreichen Ende des Vorgangs woanders hin.
echo "$verabschiedung $name";