nicht angemeldet
echo $begrüßung;
Neben dem, was dedlfix schon sagte solltest du session_start() immer an den Anfang des Scriptes setzen.
Der Grund dafür ist, dass zum Start des Session ein Session-Cookie gesetzt werden muss, und dieser muss über den Header festgelegt werden. Wenn du allerdings vorher schon eine Ausgabe gemacht hast, wurde der Header schon (ohne die Session-Angaben) gesickt und die Session wird nicht mehr funktionieren!
Ja, dazu muss start_session() aber nicht am Anfang stehen (kann es auch gar nicht, davor muss ja noch <?php). Es kann beliebig weit hinten stehen, solange, wie du ja implizit sagst, der vorher ausgeführte Code keine Ausgabe erzeugt.
Das ist aber nicht das Problem des OP, denn das äußert sich mit der allseits bekannten Cannot-send-blafasel-Meldung. Es sei denn, die Ausgabe von Fehlermeldungen ist unterdrückt. Womit ich mir ein gutes Stichwort gab, denn das error_reporting auf E_ALL (und display_errors auf on) zu setzen ist beim Fehlersuchen auch oft hilfreich.
echo "$verabschiedung $name";