nicht angemeldet
echo $begrüßung;
Und die Pruefung darauf, ob $ausgabe[$name] bereits existiert, kann entfallen. PHP kuemmert sich bei der ersten Zuweisung $ausgabe[$name][] = ... selber darum, $ausgabe[$name] anzulegen, wenn es noch nicht existiert.
Mir ging es darum, $ausgabe[$name] explizit als Array zu initialisieren und dann erst Elemente hinzuzufügen. Dies ist im Allgemeinen sinnvoll, um nicht ins Blaue hinein Elemente an vielleicht schon bestehende, früher verwendete und nur nicht aufgeräumte Variablen anzuhängen. In dem Fall kann das jedoch entfallen, wie du richtig angemerkt hast, denn $ausgabe an sich wird ja explizit als leeres Array initialisiert und hat dann natürlich auch keine ungewollten Inhalte. Das if-else-Konstrukt kann also umgeschrieben werden zu:
$ausgabe[$name][] = $zwischen;
echo "$verabschiedung $name";