echo $begrüßung;
der entscheidende punkt ist nun allerdings, dass der wert von jetzt "$_SESSION["input_php"]" per hyperlink an weitergereicht werden soll an eine neue seite; und das klappt durch weitergabe der session-id in der adress-zeile einfach nicht, so wie es bei $_SESSION["variable"] funktioniert.
Das heißt, dass du in $_SESSION["variable"] den in einem anderen Script da reingeschriebenen Wert zwar wiederfindest, $_SESSION["input_php"] aber nicht? Wenn das so ist, wie hast du das konkret geprüft? Welche Fehlermeldungen kamen (bei voll aktiviertem error_reporting)?
Versuch mal klein anzufangen. Nimm zwei neue Dateien, schreib in die eine:
<?php
session_start();
$_SESSION['foo'] = 'bar';
?>
<a href="datei2.php">andere Datei</a>
und in die andere:
<?php
session_start();
var_dump($_SESSION);
Wenn das schon nicht geht, was konkret beobachtest du? Wie sind die sessionrelevanten Parameter eingestellt (phpinfo()-Ausgabe)?
Wenn es keinen Fehler gibt, ersetze den Link durch ein Formular, so wie du das vorhast.
Session-Handling ist im einfachsten Fall genommen genauso simpel wie oben. Man braucht ein session_start() und Zugriffe auf $_SESSION. Mehr nicht.
echo "$verabschiedung $name";