echo $begrüßung;
Die Betreffzeile verwendet einen eigenen Kodiermechanismus. Da du Nicht-ASCII-Zeichen (Umlaute) verwendest, solltest du diesen anwenden. Siehe z.B. http://www.paefken.westfalen.de/de.newusers/umlaute-faq.txt
BITTE nicht. Ich kenne diese Seite, Du hast den Link schon des öfteren gepostet. Abgesehen davon: Ich habe genau das gemacht, was dort steht, nämlich mit dem "Content-Transfer-Encoding" dafür gesorgt, daß auch der Betreff als utf-8 codiert wird.
Die Betreff-Zeile ist ein Mailheader und kein Teil des Contents. Deshalb wirkt keine Content-Angabe darauf. Wenn du nicht willst, dass die Clients raten sollen, dann kodiere deine Betreffzeile ordentlich.
PS: Mich würds trotzdem interessieren, wieso gmx und hotmail die Mails richtig darstellen und es an anderen Stellen _nicht_ funktioniert.
Frag dort nach, was die da programmiert haben.
echo "$verabschiedung $name";