Entfernungen berechnen

[Christoph]

Moin.

Angenommen, die Erde sei eine perfekte Kugel. Dann ist die Entfernung zweier Punkte auf der Oberfläche einfach der Winkel [latex]\lambda[/latex] zwischen den Ortsvektoren vom Erdmittelpunkt multpliziert mit dem Erdradius [latex]R[/latex].

Kennt man (geographische) Länge [latex]\phi[/latex] und Breite [latex]\theta[/latex], lauten die kartesischen Koordinaten des Ortsvektors
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\vec r = R \cdot (\cos\theta\cos\phi, \cos\theta\sin\phi, \sin\theta)
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Weiterhin gilt
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\cos\lambda = \frac{\vec r_1 \cdot \vec r_2}{||\vec r_1||\cdot||\vec r_2||}
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= \cos\theta_1\cos\phi_1\cdot\cos\theta_2\cos\phi_2 + \cos\theta_1\sin\phi_1\cdot\cos\theta_2\sin\phi_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2
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= \cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) + \sin\theta_1\sin\theta_2
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wobei im letzen Schritt die trigonometrischen Additonstheoreme verwendet wurden.

Insgesamt erhält man
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d = R\cdot\lambda = R\cdot\arccos(\cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) + \sin\theta_1\sin\theta_2)
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Das Dumme daran: die Erde ist leider keine perfekte Kugel. In der Regel wird sie durch einen oblaten Spheroiden genähert, z.B. WGS-84 bei GPS oder den Bessel-Ellipsoid bei deutschen Gauß-Krüger-Koordinaten.

Die Formeln für die Entfernungbestimmung auf Spheroiden kann ich leider nicht aus dem Ärmel schütteln: dazu müsste ich erstmal herausfinden, wie die Geodäten überhaupt aussehen und deren Länge durch Integration bestimmen - das kann sich der geneigte Leser in einer freien Minute selbst überlegen ;)

Christoph