OT: Wahrscheinlichkeit zweier Würfel

[Denise]

Salute liebe Gemeinde,

mensch, ich habe mich vor einigen Tagen total in Backgammon
verliebt und frage so einiges.

Bei Backgammon wird ja bekanntlich mit zwei Würfeln gespielt. Wichtig soll
auch sein die Pins 5 und 4 zu Ankern damit der Gegner es schwer hat vom Board wieder ins spiel zu kommen.

Doch warum ist das so?`Würfelt man in der Regel einfach höhere Zahlen als kleine? Gleiches soll auch für die Pins 12 und 13 gelten, dort sind Runner wohl besonders gut aufgehoben wenn alleine.

Eigentlich sollte das doch wirklich alles Zufällig sein oder nicht? *naiv*

Würde mich sehr freuen wenn der ein oder andere Backgammon-Spieler oder Zahlenversteher mich ein wenig aufklären könnte!

/Ende

[suit]

Doch warum ist das so?`Würfelt man in der Regel einfach höhere Zahlen als kleine?

Nein - man Würfelt "mittlere" mit einer größeren Wahrscheinlichkeit als "kleine und große" (gfl. Normalverteilung).

Eigentlich sollte das doch wirklich alles Zufällig sein oder nicht? *naiv*

Das schon, aber eben mit einer Tendenz auf die Mitte des Wertbereichs - wenn dir dieser Umstand nicht bewusst ist, ist es eben nicht "zufällig", weil einige Werte "zufälliger" sind.

[Der Martin]

Hallo,

Doch warum ist das so?`Würfelt man in der Regel einfach höhere Zahlen als kleine?
Nein - man Würfelt "mittlere" mit einer größeren Wahrscheinlichkeit als "kleine und große" (gfl. Normalverteilung).

ja, aber nur mit 2 oder mehr Würfeln (so wie halt beim Backgammon), nicht bei einem einzelnen. Bei einem einzelnen Würfel ist jede Augenzahl gleich wahrscheinlich, man hat eine Rechteckverteilung.

Die angenäherte Normalverteilung bei zwei Würfeln (genauer: Dreieckverteilung) ergibt sich dadurch, dass die Augenzahlen im mittleren Bereich durch mehrere Kombinationen erreicht werden können:

Augensumme  2: 1+1
Augensumme  3: 1+2, 2+1
Augensumme  4: 1+3, 2+2, 3+1
Augensumme  5: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1
Augensumme  6: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
Augensumme  7: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
Augensumme  8: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2
Augensumme  9: 3+6, 4+5, 5+4, 6+3
Augensumme 10: 4+6, 5+5, 6+5
Augensumme 11: 5+6, 6+5
Augensumme 12: 6+6

Man erkennt, dass die Augensumme 7 die wahrscheinlichste ist, weil sie mit 5 verschiedenen Kombinationen der beiden Würfel erreicht werden kann, während es nur je eine Kombination gibt, die zur Augensumme 2 oder 12 führt.

Ciao,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin:

nuqneH

ja, aber nur mit 2 oder mehr Würfeln (so wie halt beim Backgammon), nicht bei einem einzelnen. Bei einem einzelnen Würfel ist jede Augenzahl gleich wahrscheinlich, man hat eine Rechteckverteilung.

AKA Gleichverteilung. Und genauer gesagt ist es kein Rechteck, sondern ein Deltakamm mit 6 gleich „hohen“ Spitzen.

Die angenäherte Normalverteilung bei zwei Würfeln (genauer: Dreieckverteilung)

Von diskret vs. stetig mal abgesehen würde ich bei einem Dreieck noch nicht von „angenäherter Normalverteilung“ sprechen. Bei 3 Würfeln sollte die Glocke aber schon erkennbar sein. (Bin grad zu faul, das durchzurechnen.)

Qapla'

[Matthias Apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Gunnar Bittersmann!

Bei 3 Würfeln sollte die Glocke aber schon erkennbar sein. (Bin grad zu faul, das durchzurechnen.)

ungeprüft

Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel:

nuqneH

ungeprüft

Interessant der Zusammenhang mit (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)ⁿ. (n – Anzahl der Würfel) Intuitiv für mich nicht zu erschließen.

Allerdings: binomische Formel – Binomialverteilung. Polynom – Polynomialverteilung.

Qapla'

[Dabear]

@@Matthias Apsel:

nuqneH

ungeprüft

Interessant der Zusammenhang mit (x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)ⁿ. (n – Anzahl der Würfel) Intuitiv für mich nicht zu erschließen.

Wenn man sich bei der Binomialverteilung das Experiment nicht als nacheinander (wie oft Kopf, wie oft Zahl bei einer Münze z.B.), sondern als gleichzeitig vorstellt, dann wird das ganze schon etwas klarer.

Hier geht es im Prinzip nur um mathematische Faltungen, siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Faltung_%28Mathematik%29

Das erste Bild (Abschnitt Bedeutung) stellt die Faltung von zwei Gleichverteilung dar, wie es bei einem (stetigen) Würfel wäre. Man erkannt dann, dass durch das Falten eine Dreieck Verteilung entsteht.

[Matti Mäkitalo]

Hi,

Bei 3 Würfeln sollte die Glocke aber schon erkennbar sein.

Wenn ich jetzt nicht ganz was doofes gemacht habe, sollte folgendes die gewünschte Verteilung sein:

3: 1+1+1
 4: 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1
 5: 1+1+3, 1+2+2, 1+3+1, 2+1+2, 2+2+1, 3+1+1
 6: 1+1+4, 1+2+3, 1+3+2, 1+4+1, 2+1+3, 2+2+2, 2+3+1, 3+1+2, 3+2+1, 4+1+1
 7: 1+1+5, 1+2+4, 1+3+3, 1+4+2, 1+5+1, 2+1+4, 2+2+3, 2+3+2, 2+4+1, 3+1+3, 3+2+2, 3+3+1, 4+1+2, 4+2+1, 5+1+1
 8: 1+1+6, 1+2+5, 1+3+4, 1+4+3, 1+5+2, 1+6+1, 2+1+5, 2+2+4, 2+3+3, 2+4+2, 2+5+1, 3+1+4, 3+2+3, 3+3+2, 3+4+1, 4+1+3, 4+2+2, 4+3+1, 5+1+2, 5+2+1, 6+1+1
 9: 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 1+5+3, 1+6+2, 2+1+6, 2+2+5, 2+3+4, 2+4+3, 2+5+2, 2+6+1, 3+1+5, 3+2+4, 3+3+3, 3+4+2, 3+5+1, 4+1+4, 4+2+3, 4+3+2, 4+4+1, 5+1+3, 5+2+2, 5+3+1, 6+1+2, 6+2+1
10: 1+3+6, 1+4+5, 1+5+4, 1+6+3, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 2+5+3, 2+6+2, 3+1+6, 3+2+5, 3+3+4, 3+4+3, 3+5+2, 3+6+1, 4+1+5, 4+2+4, 4+3+3, 4+4+2, 4+5+1, 5+1+4, 5+2+3, 5+3+2, 5+4+1, 6+1+3, 6+2+2, 6+3+1
11: 1+4+6, 1+5+5, 1+6+4, 2+3+6, 2+4+5, 2+5+4, 2+6+3, 3+2+6, 3+3+5, 3+4+4, 3+5+3, 3+6+2, 4+1+6, 4+2+5, 4+3+4, 4+4+3, 4+5+2, 4+6+1, 5+1+5, 5+2+4, 5+3+3, 5+4+2, 5+5+1, 6+1+4, 6+2+3, 6+3+2, 6+4+1
12: 1+5+6, 1+6+5, 2+4+6, 2+5+5, 2+6+4, 3+3+6, 3+4+5, 3+5+4, 3+6+3, 4+2+6, 4+3+5, 4+4+4, 4+5+3, 4+6+2, 5+1+6, 5+2+5, 5+3+4, 5+4+3, 5+5+2, 5+6+1, 6+1+5, 6+2+4, 6+3+3, 6+4+2, 6+5+1
13: 1+6+6, 2+5+6, 2+6+5, 3+4+6, 3+5+5, 3+6+4, 4+3+6, 4+4+5, 4+5+4, 4+6+3, 5+2+6, 5+3+5, 5+4+4, 5+5+3, 5+6+2, 6+1+6, 6+2+5, 6+3+4, 6+4+3, 6+5+2, 6+6+1
14: 2+6+6, 3+5+6, 3+6+5, 4+4+6, 4+5+5, 4+6+4, 5+3+6, 5+4+5, 5+5+4, 5+6+3, 6+2+6, 6+3+5, 6+4+4, 6+5+3, 6+6+2
15: 3+6+6, 4+5+6, 4+6+5, 5+4+6, 5+5+5, 5+6+4, 6+3+6, 6+4+5, 6+5+4, 6+6+3
16: 4+6+6, 5+5+6, 5+6+5, 6+4+6, 6+5+5, 6+6+4
17: 5+6+6, 6+5+6, 6+6+5
18: 6+6+6

Bis die Tage,
Matti

[MudGuard]

Hi,

Augensumme  7: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
Man erkennt, dass die Augensumme 7 die wahrscheinlichste ist, weil sie mit 5 verschiedenen Kombinationen der beiden Würfel erreicht werden kann,

Das Zählen solltest Du nochmal üben ... ;-)

cu,
Andreas

[Der Martin]

Hallo,

Augensumme  7: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
Man erkennt, dass die Augensumme 7 die wahrscheinlichste ist, weil sie mit 5 verschiedenen Kombinationen der beiden Würfel erreicht werden kann,
Das Zählen solltest Du nochmal üben ... ;-)

das ist mir schon kurz nach dem Absenden des Beitrags aufgefallen. Aber ich dachte mir, mal sehen, wann's einer merkt. Hat ja immerhin 9 Tage gedauert. :-P

Ciao,
 Martin

[MudGuard]

Hi,

Augensumme  7: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
Man erkennt, dass die Augensumme 7 die wahrscheinlichste ist, weil sie mit 5 verschiedenen Kombinationen der beiden Würfel erreicht werden kann,
Das Zählen solltest Du nochmal üben ... ;-)

das ist mir schon kurz nach dem Absenden des Beitrags aufgefallen. Aber ich dachte mir, mal sehen, wann's einer merkt. Hat ja immerhin 9 Tage gedauert. :-P

Ich hab den Thread erst heute gelesen, und es ist mir sofort aufgefallen ...

cu,
Andreas