Das darfst du ohne weiteres tun.
Eine Domain unterliegt keinem Markenrecht. Öffentliche Anstallten dürfen dir den Namen aber wegnehmen. Sprich wenn du eine Domain uni-rexhausen.de hast, dann kann dir die uni den Namen wegnehmen - einfach so. So auch Öffentliche Einrichtungen wie Städte, Gemeinden etc.. Aber nur wenn ein berechtigtes Interesse an dem Namen bestehen.
Wenn du den Namen einer Firma nimmst, dann kann es sein, dass du auch die Domain räumen musst. Dass wird geht dann aber meist vor Gericht ausgetüfftelt. Dir kann aber niemand etwas bezüglich Namensrechte oder Urheberrecht oder so was anhaben. Im schlimmsten Fall musst du die Domain eben hergeben.
Mein Wissensstand ist ca. 5 Jahre alt. Damals hab ich mich mit einem Donutladen Selbstständig gemacht. Da war das am Anfang ein recht umfangreiches Thema. Auch bezüglich Markenrechte kann ich dir ein wenig weiterhelfen. Natürlich alles ohne Gewähr.
Gruß
Markenrechtsexperte
T-Rex