Vollständige Induktion mit 2er-Induktionsschritt

[harald p]

Hallo,

ist es bei einer vollständigen Induktion eigentlich auch möglich und ausreichend, z. B. einen Induktionsschritt zum übernächsten n zu machen und beim Induktionsanfang eben 2 Verankerungen zu ermöglichen. Also z. B.:

Anfang:
A(n_0) und A(n_1) gelten für n_0=0 und n_1=1.

Vorraussetzung:
A(n) gilt.

Induktionsschritt:
Aus A(n) folgt A(n+2).

Ich finde es logisch, dass somit A für alle n bewiesen ist, da ich ja entweder von 0 oder von 1 starten kann und immer die übernächste Zahl erreichen kann. In Büchern sieht man aber immer nur den Schritt n -> n+1.

Grüße

Harald P

[Gunnar Bittersmann]

@@harald p:

nuqneH

ist es bei einer vollständigen Induktion eigentlich auch möglich und ausreichend, z. B. einen Induktionsschritt zum übernächsten n zu machen und beim Induktionsanfang eben 2 Verankerungen zu ermöglichen.

Ja, klar.

Wenn etwas für alle geraden natürlichen Zahlen und alle ungeraden natürlichen Zahlen gilt, dann gilt es für alle natürlichen Zahlen.

Qapla'

[Harald P]

Angenommen der Induktionsanfang sei für n=1, n=2, n=3, n=4 erfolgt und mit dem Schritt kann gezeigt werden, dass aus A(n) folgt A(n+4).

Man "sieht", dass es dann auch für alle n gilt, aber reicht das kommentarlos oder muss noch gezeigt werden, dass man alle n mit den gegebenen Anfängen und dem Schritt n+4 erhalten kann?

[Encoder]

Angenommen der Induktionsanfang sei für n=1, n=2, n=3, n=4 erfolgt und mit dem Schritt kann gezeigt werden, dass aus A(n) folgt A(n+4).

Dann hast du aber nur 4-er Schritte bewiesen. Dass aus A(n) auch A(n+1) folgt, hast du damit noch nicht gezeigt.
Vielleicht gibts ja Fälle wo das relevant wird, weil der direkte Zusammenhang zwischen n und n+1 usw. nicht hergestellt ist.

[Gunnar Bittersmann]

@@Encoder:

nuqneH

Dass aus A(n) auch A(n+1) folgt, hast du damit noch nicht gezeigt.

Muss man auch nicht.

Vielleicht gibts ja Fälle wo das relevant wird, weil der direkte Zusammenhang zwischen n und n+1 usw. nicht hergestellt ist.

Es muss keinen direketen Zusammenhang zwischen n und n+1 geben.

Man will zeigen, dass etwas für alle positiven natürlichen Zahlen gilt. Das hat man getan, wenn man zeigt, dass es für 1, 2, 3 und 4 gilt und aus der Gültigkeit für n die Gültigkeit für n+4 folgt.

Qapla'