Beweis i. O.

[ottogal]

Hallo ungelöst,

∀x∈A: x∈B ∧ ∀x∈B: x∈C ⇒ ∀x∈A: x∈C

Meiner Meinung nach ist dieser Schritt kein Beweis, sondern die mit der (nicht ganz sauber formulierten) Definition umgeschriebene Behauptung.

Die Voraussetzungen sind   A⊂B  und  B⊂C,
richtig umgeschrieben  ∀x( x∈A => x∈B )  und  ∀x( x∈B => x∈C ).

Die Behauptung  A⊂C  heißt umgeschrieben  ∀x( x∈A => x∈C ).

Um solch eine All-Aussage zu beweisen, muss man zeigen, dass für beliebig gewähltes  xo∈A auch  xo∈C gilt.

Wesentlich ist die Unterscheidung der im Allquantor gebundenen Variablen x mit der Variablen xo für das beliebig gewählte Element. Anschaulich: Der Beweis ist eine Verteidigung gegen einen Gegner (Opponent), der selbst irgend ein x0 auswählen kann. Die Verteidigung gelingt, egal welches Element der Gegner auswählt:

Angenommen, es wurde ein  xo∈A  ausgewählt.
Dann folgt wegen der 1. Voraussetzung, dass (für dieses xo) auch  xo∈B  gilt,
und wegen der 2. Voraussetzung folgt (für dieses xo) daraus  xo∈C.

Weil das xo beliebig gewählt war, ist die All-Aussage bewiesen.