Beweis i. O.

[ungelöst]

Guten Abend,

Aufgabe:
Def.: U⊂O, wenn ∀x∈U auch ∈O
Axi.: M=N, wenn dieselben Elemente
Beweise A⊂C folgt aus A⊂B und B⊂C

Folgender Beweis so i. O.?

A⊂B ∧ B⊂C ⇔ ∀x∈A: x∈B ∧ ∀x∈B: x∈C ⇒ ∀x∈A: x∈C ⇔ A⊂C
q. e. d.

Bin mir unsicher über:
⇔ ↔
⇒ →

Dank und Gruß

ungelöst

[Gunnar Bittersmann]

@@ungelöst:

nuqneH

A⊂B ∧ B⊂C ⇔ ∀x∈A: x∈B ∧ ∀x∈B: x∈C ⇒ ∀x∈A: x∈C ⇔ A⊂C

Sieht OK aus, IMHO.

Bin mir unsicher über:
⇔ ↔
⇒ →

Dann benutze doch nur ⇒; die Behauptung ist doch auch nur in eine Richtung.

Qapla'

[ottogal]

Hallo ungelöst,

∀x∈A: x∈B ∧ ∀x∈B: x∈C ⇒ ∀x∈A: x∈C

Meiner Meinung nach ist dieser Schritt kein Beweis, sondern die mit der (nicht ganz sauber formulierten) Definition umgeschriebene Behauptung.

Die Voraussetzungen sind   A⊂B  und  B⊂C,
richtig umgeschrieben  ∀x( x∈A => x∈B )  und  ∀x( x∈B => x∈C ).

Die Behauptung  A⊂C  heißt umgeschrieben  ∀x( x∈A => x∈C ).

Um solch eine All-Aussage zu beweisen, muss man zeigen, dass für beliebig gewähltes  xo∈A auch  xo∈C gilt.

Wesentlich ist die Unterscheidung der im Allquantor gebundenen Variablen x mit der Variablen xo für das beliebig gewählte Element. Anschaulich: Der Beweis ist eine Verteidigung gegen einen Gegner (Opponent), der selbst irgend ein x0 auswählen kann. Die Verteidigung gelingt, egal welches Element der Gegner auswählt:

Angenommen, es wurde ein  xo∈A  ausgewählt.
Dann folgt wegen der 1. Voraussetzung, dass (für dieses xo) auch  xo∈B  gilt,
und wegen der 2. Voraussetzung folgt (für dieses xo) daraus  xo∈C.

Weil das xo beliebig gewählt war, ist die All-Aussage bewiesen.

[ungelöst]

Hallo,

danke für Deine Antwort.

Aber wie schreibe ich das dann in einen typischen Beweis-Einzeiler um?

Aber mal umgangsprachlich ausgedrück: "alle Elemente von A sind auch Elemente von B, alle Elemente von B sind wiederum Elemente von C daraus folgt, dass alle Elemente von A auch Elemente von C sind"

So ganz verstehe ich nicht, warum es hier wichtig ist, das für ein beliebiges x0 durchzuexerzieren?
Also Du meinst, die Vorraussetzungen einfach umschreiben, also
A⊂B ∧ B⊂C ⇒ ∀x∈A: x∈B ∧ ∀x∈B: x∈C
Die Behauptung:
A⊂C ⇒ ∀x∈A: x∈C
Nun gilt für jedes beliebig gewählte x0.. <-- und jetzt?

Grüße

[Matti Mäkitalo]

Hi,

Aber wie schreibe ich das dann in einen typischen Beweis-Einzeiler um?

so ähnlich wie ottogal dachte ich auch beim Lesen deines Beitrags: der entscheidende Sprung  von der ersten zur zweiten Voraussetzung ist nur implizit enthalten, aber dieses implizit Fehlende ist genau das, was den Beweis ausmacht.

Die Kurzform wäre sowas wie:
A⊂B => ∀y∈A: y∈B => (da B⊂C) ∀y∈A: y∈C => A⊂C

Bis die Tage,
Matti

[ungelöst]

Hi,

so ähnlich wie ottogal dachte ich auch beim Lesen deines Beitrags: der entscheidende Sprung  von der ersten zur zweiten Voraussetzung

Ist das nicht der von mir genannte?

∀x∈A: x∈B ∧ ∀x∈B: x∈C ⇒ ∀x∈A: x∈C (= Sprung)

ist nur implizit enthalten, aber dieses implizit Fehlende ist genau das, was den Beweis ausmacht.

Leider muss ich sagen, dass ich nicht ganz nachvollziehen kann, was der Punkt ist?

In beiden Fällen, meinem ersten Vorschlag und dem Hinweis, für ein beliebiges x0 zu zeigen, schreibe ich doch im Prinzip nur um, bis offensichtlich und eindeutig ist, das eben oben genannter Sprung folgt
Doch wieso extar für ein beliebiges x0? Wenn ich es für alle x zeige muss ich es doch nicht für ein beliebiges zeigen?

Die Kurzform wäre sowas wie:
A⊂B => ∀y∈A: y∈B => (da B⊂C) ∀y∈A: y∈C => A⊂C

Das ist ja wieder das, was ich eingangs vorgeschlagen habe, ohne ein belibiges x0.

Grüße