var ausgabe = "Hallo";//Diesen würde ich gerne...
$('body').delegate('#testbtn', 'click', function(){
alert(that.ausgabe);//...hier ausgeben
});
ausgabe ist eine keine Eigenschaft von that, sondern eine lokale Variable der Funktion, auf diese kannst du in der Closure einfach mit ausgabe zugreifen, ohne that als Context.