Formel gesucht

[Kevin]

Hallo,

Die Problemstellung ist folgende. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfel eine 2, eine 3, eine 4, usw. bis 12 zu werfen? Gibt es hierzu eine mathematische Formel (ala Binomenakoeffizient beim Lotto-Problem), das zu errechnen? Ich suche nicht nach der Laplace-Formel, die ist schon klar. Ich suche nach einer Formel, die mir für 2 Würfel (oder noch lieber für n Würfel) entweder die Anzahl der Möglichkeiten zurück gibt, eine Zahl X zu würfeln. Oder aber mir die Wahrscheinlichkeit errechnet, diese Zahl X zu würfeln.

Schönen Feiertag (an all die, die heute einen Feiertag haben),

Kevin

[Der Martin]

Hi,

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfel eine 2, eine 3, eine 4, usw. bis 12 zu werfen? Gibt es hierzu eine mathematische Formel (ala Binomenakoeffizient beim Lotto-Problem), das zu errechnen?

also wenn, dann wäre sie vermutlich sehr umständlich, weil die Rahmenbedingungen schwierig zu formulieren sind.

Ich suche nach einer Formel, die mir für 2 Würfel (oder noch lieber für n Würfel) entweder die Anzahl der Möglichkeiten zurück gibt, eine Zahl X zu würfeln. Oder aber mir die Wahrscheinlichkeit errechnet, diese Zahl X zu würfeln.

Sei n die Anzahl der Würfel, und x[i] die Augenzahl eines Würfels, dann ist die Gesamt-Augenzahl selbstverständlich die Summe aller x[i] für i=1 .. n. Außerdem gilt noch, dass alle x[i] ganzzahlig sind und im Intervall [1 .. 6] liegen. Die Gesamtzahl aller möglichen Permutationen ist 6ⁿ, die kleinste mögliche Augensumme ist n, die größtmögliche 6n. Rein von der Anschauung her ist mir klar, dass Augensummen um die Mitte des möglichen Wertebereichs wahrscheinlicher sind als solche an den Rändern, weil die Zahl der möglichen Kombinationen größer ist.

Für einen bestimmten Wert von n könnte man die Lösungen durch Auszählen ermitteln, aber ein allgemeiner mathematischer Ansatz fällt mir da nicht ein.

So long,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Kevin,

Du suchst also die Möglichkeiten, eine Zahl als Summe von n (anderen) Zahlen darzustellen. Eine allgemeine Formel gibt es da wohl nicht.

Für 2 Würfel gibt es folgende Möglichkeiten

11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36 
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66

Die möglichen Summen sind die Nebendiagonalen (von rechts oben nach links unten), die entsprechenden Anzahlen, die Anzahl der Elemente auf der Diagonalen.

p(2) = p(12) = 1/36
p(3) = p(11) = 2/36
p(4) = p(10) = 3/36
p(5) = p(9)  = 4/36
p(6) = p(8)  = 5/36
p(7)         = 6/36

Wenn auf dem Würfel andere Zahlen stehen, sieht es anders aus.

Für 3 Würfel kann man dieselben Überlegungen machen

111 112 113 114 115 116
121 122 123 124 ...
...

Die nächste Schicht (erster Würfel zeigt eine 2) kommt dann obendrauf. Die möglichen Summen ergeben sich als Raumdiagonalen von rechts oben vorn nach links unten hinten.

Verallgemeinerungen kannst du jetzt selbst suchen ;-)

Bis demnächst
Matthias

[woodfighter]

Tach,

Wenn auf dem Würfel andere Zahlen stehen, sieht es anders aus.

oder auch nicht 1, 2, 2, 3, 3, 4 und 1, 3, 4, 5, 6, 8 ergeben die selbe Verteilung (https://en.wikipedia.org/wiki/Sicherman_dice

Verallgemeinerungen kannst du jetzt selbst suchen ;-)

Die sind nicht schön (für Anfänger), aber die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist ein Zwischenschritt, der hilfreich ist bei der Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten der Summen:

Für n faire unabhängige Würfel mit k Seiten (beschriftet mit 1 bis k) ergibt sich die Funktion $$({1\over k} \sum\limits_{i=1}^{k} x^i)^n$$; im Beispiel von zwei sechsseitigen Würfeln ergibt sich damit $$({1\over 6}\sum\limits_{i=1}^{6} x^i)^2={(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2\over{36}}={(x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+6x^7+5x^8+4x^9+3x^{10}+2x^{11}+x^{12})\over 36}$$. Und daraus kann man dann ablesen, wie viele Kombinationen für eine spezifische Summe es gibt, indem man den Faktor vor dem Exponenten, der der Summe entspricht, sucht. Für die Würfelsumme 5 sucht man also die Stelle mit der $$x^5$$ und weiß dann, dass es vier Möglichkeiten gibt eine fünf zu würfeln, der Nenner gibt einem die Gesamtanzahl an Möglichkeiten; kompliziert wird es dann, wenn man diesen letzten Schritt formal machen will.

mfg
Woodfighter

[Kevin]

Hallo Forum, hallo Woodfighter,

Die sind nicht schön (für Anfänger), aber die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist ein Zwischenschritt, der hilfreich ist bei der Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten der Summen:

Ich finde (zumindest den Zwischenschritt) sehr schön (im Sinne von "hilfreich"). :-)

Für n faire unabhängige Würfel mit k Seiten (beschriftet mit 1 bis k) ergibt sich die Funktion $$({1\over k} \sum\limits_{i=1}^{k} x^i)^n$$; im Beispiel von zwei sechsseitigen Würfeln ergibt sich damit $$({1\over 6}\sum\limits_{i=1}^{6} x^i)^2={(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2\over{36}}={(x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+6x^7+5x^8+4x^9+3x^{10}+2x^{11}+x^{12})\over 36}$$. Und daraus kann man dann ablesen, wie viele Kombinationen für eine spezifische Summe es gibt, indem man den Faktor vor dem Exponenten, der der Summe entspricht, sucht. Für die Würfelsumme 5 sucht man also die Stelle mit der $$x^5$$ und weiß dann, dass es vier Möglichkeiten gibt eine fünf zu würfeln, der Nenner gibt einem die Gesamtanzahl an Möglichkeiten; kompliziert wird es dann, wenn man diesen letzten Schritt formal machen will.

Deinen Ansatz finde ich schonmal klasse. Und auch verständlich. Ich war mir bei der Fragestellung unsicher, ob die Antwort eine "easy-going-Lösung" sein würde oder sie wirklich kompliziert ist. Ok, sie ist wirklich kompliziert, aber zumindest Deine "Zwischenlösung" ist nachvollziehbar und für mich bis hierher auch völlig ausreichend.

Danke (auch an die anderen übrigens),

Kevin