Mathematik zum Wochenende

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Eine Gruppe von fünf Freunden macht einen Ausflug ins Ausland. Genau einer der fünf hat unerlaubterweise zu viel Tabak gekauft, genau ein weiterer hat zu viel Alkohol erworben.

Bei der Zollkontrolle erregt die Gruppe Verdacht. Ein Beamter beschließt, zwei der fünf Personen zu kontrollieren. Dieser Beamte findet mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% den Tabak und mit einer Wahrscheinlichkeit 95% den Alkohol.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet der Beamte keine unerlaubten Produkte? Ändert sich diese, wenn es möglich ist, dass eine Person beide unerlaubten Produkte mit sich führt?^[1]

Es gibt keinelei Spitzfindigkeiten, wie Tausch oder Aufteilen der Produkte, Austrinken des Alkohols, …

Und ja, ich hab Wochenende :-)

Bis demnächst
Matthias

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1. Die Wahrscheinlichkeiten von 75 bzw. 95% ändern sich deshalb nicht. ↩︎

[dedlfix]

Tach!

Eine Gruppe von fünf Freunden macht einen Ausflug ins Ausland. Genau einer der fünf hat unerlaubterweise zu viel Tabak gekauft, genau ein weiterer hat zu viel Alkohol erworben.

Wenn es gutes Zeug ist, findet eh nur die Hälfte im Protokoll Erwähnung.

dedlfix.

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

für alle, die wissen wollen, ob sie auf dem richtigen Weg sind, hier die Lösungen:

1. $$p = \frac{313}{800} = 0,39125$$

2. $$p = \frac{217}{500} = 0,434$$

Die Lösungswege folgen bei Interesse.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf b]

Hätte mich schon interessiert, weil ich nämlich keine Ahnung mehr habe wie man das rechnet. Aber ich bin ja offenbar der Einzige :)

Ich hatte mit Wahrscheinlichkeitsbäumen gespielt, das führte mich aber nirgendwohin.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf b,

Ich hatte mit Wahrscheinlichkeitsbäumen gespielt, das führte mich aber nirgendwohin.

Ja, Baumdiagramme helfen. Wenn man sie verwenden möchte, braucht man mehrere. Beginnen wir mit der Auswahl der Personen. Bezeichnen wir den Tabakschmuggler mit T, den Schnapsschmuggler mit S und die anderen mit A, so gibt es in einem Baum folgende Ereignisse

AA
AT
AS
TA
TS
SA
ST

Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Pfad beispielsweise ist 3/5 * 2/4, für den letzen 1/5 * 1/4. Interessant sind jetzt die Varianten

{AA} zwei andere
{SA} der Schnapsschmuggler und ein anderer
{TA}
{ST}

Die (ungekürzen) Wahrscheinlichkeiten ergeben sich in dieser Reihenfolge zu 6/20, 6/20, 6/20, 2/20. Die Summe muss 1 ergeben, deshalb kürze ich da i.d.R. nicht, weil man es leichter sieht. Außerdem lassen die Nenner erkennen, wie man zu diesem Ergebnis gekommen ist.

Die Wahrscheinlichkeiten, dass nichts gefunden wird sind in den ersten drei Fällen 1 (es ist ja nichts da), 5/100 bzw. 25/100.

Für den 4. Fall kann man jetzt wieder ein Baumdiagramm zeichnen, die Wahrscheinlichkeit, dass weder der Schnaps noch der Tabak gefunden wird (es gibt dafür nur einen Pfad), ist 5/100 * 25/100 = 125/10000.

Damit ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit von

$$p(\text{"nichts gefunden"})= \frac{6}{20} \cdot 1 + \frac{6}{20} \cdot \frac{5}{100} + \frac{6}{20} \cdot \frac{25}{100} + \frac{2}{20} \cdot \frac{125}{10000} = \frac{313}{800}$$

Vielleicht hilft dir das ja für b)

Bis demnächst
Matthias

[Rolf b]

Ok, das macht eine implizite Annahme der Aufgabenstellung klar, die mir nicht klar war.

"Wenn der Beamte eine Person kontrolliert, die Produkt X bei sich trägt, findet er dieses Produkt mit einer Wahrscheinlichkeit $$p_X$$"

Ich hatte es anders gedeutet. Der Beamte hat - aus welchen Gründen auch immer - die Chance $$p_X$$, dass er aus den 5 Personen die Person selektiert, die X bei sich trägt. Ich bin davon ausgegangen, dass er dann, wenn er einen Schmuggler selektiert hat, der Schmuggler automatisch aufgeflogen ist. Dass er eine Person, die das Produkt schmuggelt, kontrolliert, aber nichts findet war für mich kein Szenario. Mit dieser Aufgabendeutung ist es nur chaotisch. Und dann hatte ich keine Lust mehr, andere Deutungen zu suchen :)

So, wie Du es Dir gedacht und vorgerechnet hast, ist es natürlich viel logischer.

Danke Rolf