Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

In ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC wird ein Quadrat einbeschrieben. (siehe Skizze)

Bestimme eine Gleichung für die Seitenlänge q des Quadrats in Abhängigkeit der Kathetenlängen a und b.

Über den Strahlensatz kommt man wie gesagt auch dahin, aber ein rechtwinkliges Dreieck ist prädestiniert dafür, so in ein rechtwinkliges Koordinatensystem gelegt zu werden, dass der Scheitel des rechten Winkels im Ursprung und die Katheten auf den positiven Teilen der Achsen liegen:

Die Geradengleichung der Hypotenuse ist dann $$y = -\frac{b}{a} x + b$$

Das Quadrat hat dann ebenfalls zwei Seiten auf den Achsen des Koordinatensystems und einen Eckpunkt in dessen Urprung. Der diesem gegenüberliegende Eckpungt liegt auf der Geraden $$y = x$$, folglich $$x = -\frac{b}{a} x + b$$, was für $$x = \frac{ab}{a + b} = q$$ erfüllt wird.

Wenn man q bestimmt hat, ist es relativ leicht zu zeigen, dass das Quadrat höchstens halb so groß wie das Dreieck ist.

Wie?

Für alle positiven a, b gilt $$\qquad\qquad\quad 0 \le ab \left( a - b \right) ^2 = ab \left( a^2 - 2ab + b^2 \right)$$

Durch Addition von 4_a_²_b_² erhält man $$\quad 4a^2b^2 \le ab \left( a^2 + 2ab + b^2 \right) = ab \left( a + b \right) ^2$$

Die Division durch 4(a + b)² > 0 ergibt $$\quad q^2 = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right) ^2} \le \frac{1}{4} ab$$

Auf der linken Seite steht nun gerade die Fläche des Quadrats; auf der rechten die Hälfte der Fläche des Dreiecks.

Geht das auch ohne Kenntnis von q?

Ja. Und das ist dann auch einfacher: geometrisch.

LLAP 🖖